Calcule as trajetórias ortogonais para a família de curvas dada por
y=\frac{k}{x} .

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas
y=\frac{k}{x},
com k parâmetro real. A pergunta é: encontrar as trajetórias ortogonais a essa família — ou seja, encontrar a família de curvas que intersecta cada curva dada em ângulo reto. Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A família original depende do parâmetro k.
  • As curvas estão definidas quando x\neq0 (pois aparece divisão por x).
  • Precisa-se eliminar k e obter a família de curvas ortogonais.

Passo 2

O que significa “trajetórias ortogonais” e como usar isso na prática (pequena aula):
  • Se uma curva tem inclinação (derivada) em um ponto dada por m_1 e outra curva tem inclinação m_2 no mesmo ponto, e as curvas se cruzam em ângulo reto, então os declives satisfazem
m_1\cdot m_2=-1,
desde que nem uma nem outra seja vertical. Ou seja, m_2 é o negativo do recíproco de m_1.
  • Portanto, procedemos assim: (i) encontramos a equação diferencial que todas as curvas da família original satisfazem, escrevendo y' em termos de x e y; (ii) substituímos y' por seu negativo recíproco para obter a equação diferencial das trajetórias ortogonais; (iii) resolvemos essa equação para obter a família procurada.

Passo 3

Primeiro eliminamos o parâmetro k e obtemos a derivada da família original.
Da equação dada temos
y=\frac{k}{x}\quad\Rightarrow\quad k=xy.
Diferenciando y=\dfrac{k}{x} em relação a x (tratando k como constante) obtemos
\frac{dy}{dx}=-\frac{k}{x^{2}}.
Agora substituímos k=xy nessa expressão para eliminar k:
\frac{dy}{dx}=-\frac{xy}{x^{2}}=-\frac{y}{x}.
Portanto, a família original satisfaz a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}.

Passo 4

Agora usamos a condição de ortogonalidade. Se a inclinação da família original é \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y}{x}, então a inclinação y' das trajetórias ortogonais é o negativo do recíproco:
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{-\dfrac{y}{x}}=\frac{x}{y}.
Assim, as trajetórias ortogonais satisfazem a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}.

Passo 5

Resolver a equação diferencial obtida. Essa equação é separável; separamos variáveis:
y\,dy = x\,dx.
Integramos os dois lados:
\int y\,dy = \int x\,dx
\frac{1}{2}y^{2} = \frac{1}{2}x^{2} + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por 2 e renomeando a constante obtemos a forma mais simples da família:
y^{2}=x^{2}+C,
ou equivalentemente
y^{2}-x^{2}=C,
com C constante arbitrária real.

Passo 6

Breve verificação de ortogonalidade: nas interseções entre uma curva da família original e uma curva da solução, as inclinações são -\dfrac{y}{x} e \dfrac{x}{y}. O produto é
\left(-\frac{y}{x}\right)\left(\frac{x}{y}\right)=-1,
logo são realmente perpendiculares.

Resposta

y^{2}-x^{2}=C, com C constante real.

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