Calcule as trajetórias ortogonais para a família de curvas dada por
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas
com
parâmetro real. A pergunta é: encontrar as trajetórias ortogonais a essa família — ou seja, encontrar a família de curvas que intersecta cada curva dada em ângulo reto. Informações relevantes que temos do enunciado:
- A família original depende do parâmetro
. - As curvas estão definidas quando
(pois aparece divisão por ). - Precisa-se eliminar
e obter a família de curvas ortogonais.
Passo 2
O que significa “trajetórias ortogonais” e como usar isso na prática (pequena aula):
- Se uma curva tem inclinação (derivada) em um ponto dada por
e outra curva tem inclinação no mesmo ponto, e as curvas se cruzam em ângulo reto, então os declives satisfazem
desde que nem uma nem outra seja vertical. Ou seja,
é o negativo do recíproco de
.
- Portanto, procedemos assim: (i) encontramos a equação diferencial que todas as curvas da família original satisfazem, escrevendo
em termos de e ; (ii) substituímos por seu negativo recíproco para obter a equação diferencial das trajetórias ortogonais; (iii) resolvemos essa equação para obter a família procurada.
Passo 3
Primeiro eliminamos o parâmetro
e obtemos a derivada da família original.
Da equação dada temos
Da equação dada temos
Diferenciando
em relação a
(tratando
como constante) obtemos
Agora substituímos
nessa expressão para eliminar
:
Portanto, a família original satisfaz a equação diferencial
Passo 4
Agora usamos a condição de ortogonalidade. Se a inclinação da família original é
, então a inclinação
das trajetórias ortogonais é o negativo do recíproco:
Assim, as trajetórias ortogonais satisfazem a equação diferencial
Passo 5
Resolver a equação diferencial obtida. Essa equação é separável; separamos variáveis:
Integramos os dois lados:
onde
é constante de integração. Multiplicando por
e renomeando a constante obtemos a forma mais simples da família:
ou equivalentemente
com
constante arbitrária real.
Passo 6
Breve verificação de ortogonalidade: nas interseções entre uma curva da família original e uma curva da solução, as inclinações são
e
. O produto é
logo são realmente perpendiculares.