Calcular a derivada de cada função abaixo:
b) R) f(x)=(3 x^2+1)(x^3+6 x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f(x)=(3x^2+1)(x^3+6x). O conteúdo envolvido é derivada de polinômios e a aplicação da regra do produto.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto, que diz que quando temos duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto é dada por
(ucdot v)' = u'cdot v + ucdot v'

Passo 3

Identificamos as duas parcelas do produto: u(x)=3x^2+1 e v(x)=x^3+6x. Agora derivamos cada uma usando a regra (x^n)'=n x^n-1: u'(x)=6x, v'(x)=3x^2+6

Passo 4

Substituímos na fórmula da regra do produto para obter
f'(x)=6xcdot(x^3+6x)+(3x^2+1)cdot(3x^2+6)

Passo 5

Vamos simplificar cada termo separadamente. Primeiro termo:
6x(x^3+6x)=6x^4+36x^2
Segundo termo:
(3x^2+1)(3x^2+6)=9x^4+18x^2+3x^2+6=9x^4+21x^2+6

Passo 6

Agora somamos termos semelhantes:
6x^4+9x^4=15x^4,
36x^2+21x^2=57x^2,
mantendo o +6. Assim:
f'(x)=15x^4+57x^2+6

Resposta

15x^4+57x^2+6

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