Usando o método de variação dos parâmetros, encontre a solução geral da seguinte EDO:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem:
O conteúdo envolvido aqui é a resolução de EDOs lineares utilizando o método de variação dos parâmetros. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, determinar uma solução particular da equação completa usando variação dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação homogênea, assumimos uma solução da forma $ y = e^{rx} $. Substituindo na equação:
Como $ e^{rx} \neq 0 $, temos:
Portanto, as soluções da equação homogênea são:
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_{p} $ da equação completa:
Como a função do lado direito $ e^{x} $ já é uma solução da equação homogênea, não podemos assumir diretamente $ y_{p} = A e^{x} $. Em vez disso, utilizaremos o método de variação dos parâmetros.
Primeiro, identifiquemos as soluções da equação homogênea:
O método de variação dos parâmetros diz que a solução particular pode ser escrita como:
Onde $ u_{1}(x) $ e $ u_{2}(x) $ são funções a serem determinadas.
Passo 4
Para encontrar $ u_{1}(x) $ e $ u_{2}(x) $, estabelecemos as seguintes condições:
Substituindo $ y_{1} = e^{x} $ e $ y_{2} = e^{-x} $, temos:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Integrando:
Para simplificação, consideramos apenas a parte particular, então descartamos a constante:
E então:
Integrando:
Novamente, descartamos a constante para obter a parte particular:
Passo 5
Agora que temos $ u_{1} $ e $ u_{2} $, substituímos na expressão para $ y_{p} $:
Resposta
A solução geral da EDO $ y’’ - y = e^{x} $ é: