Usando o método de variação dos parâmetros, encontre a solução geral da seguinte EDO:
y^prime prime-y=e^x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem:
y'' - y = e^x
O conteúdo envolvido aqui é a resolução de EDOs lineares utilizando o método de variação dos parâmetros. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, determinar uma solução particular da equação completa usando variação dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - y = 0
Para resolver essa equação homogênea, assumimos uma solução da forma $ y = e^{rx} $. Substituindo na equação:
y = e^rx
r^2 e^rx - e^rx = 0
Como $ e^{rx} \neq 0 $, temos:
e^rx(r^2 - 1) = 0
e^rx neq 0
Portanto, as soluções da equação homogênea são:
r^2 - 1 = 0
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_{p} $ da equação completa:
yp
Como a função do lado direito $ e^{x} $ já é uma solução da equação homogênea, não podemos assumir diretamente $ y_{p} = A e^{x} $. Em vez disso, utilizaremos o método de variação dos parâmetros.
Primeiro, identifiquemos as soluções da equação homogênea:
y'' - y = e^x
O método de variação dos parâmetros diz que a solução particular pode ser escrita como:
e^x
Onde $ u_{1}(x) $ e $ u_{2}(x) $ são funções a serem determinadas.

Passo 4

Para encontrar $ u_{1}(x) $ e $ u_{2}(x) $, estabelecemos as seguintes condições:
u1(x)
u2(x)
Substituindo $ y_{1} = e^{x} $ e $ y_{2} = e^{-x} $, temos:
u1' y1 + u2' y2 = 0
u1' y1' + u2' y2' = e^x
Resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação:
y1 = e^x
y2 = e^-x
Substituindo na segunda equação:
u1' e^x + u2' e^-x = 0
u1' e^x - u2' e^-x = e^x
u2' e^-x = -u1' e^x
u2' = -u1' e^2x
Integrando:
u1' e^x - (-u1' e^2x) e^-x = e^x
Para simplificação, consideramos apenas a parte particular, então descartamos a constante:
u1' e^x + u1' e^x = e^x
E então:
2 u1' e^x = e^x
Integrando:
u1' = 12
Novamente, descartamos a constante para obter a parte particular:
u1 = x2 + C

Passo 5

Agora que temos $ u_{1} $ e $ u_{2} $, substituímos na expressão para $ y_{p} $:
u1
u2
yp

Resposta

A solução geral da EDO $ y’’ - y = e^{x} $ é:
y'' - y = e^x

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