Lf^(n)(t)=s^n Lf(t)-s^n-1 f(0)-s^n-2 f^prime(0)-cdots-f^n-1(0),
calcule
(a) Lk t cos k t+sin k t (Sugestão: perceba que k t cos k t+sin k t é a derivada de t sin k t )

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de k t cos(k t)+sin(k t) usando a propriedade da derivada n-ésima mencionada.

Passo 2

Observamos que $k t \cos(k t)+\sin(k t)$ é exatamente a derivada de k t cos(k t)+sin(k t), pois
t sin(k t)

Passo 3

Pela propriedade Lf'(t)=sF(s)-f(0), temos
Lk tcos(k t)+sin(k t)=Ll[ddt(t sin(k t))r]=s,Lt sin(k t)-l[tsin(k t)r]t=0

Passo 4

Como tsin(k t)|t=0=0, fica
Lk tcos(k t)+sin(k t)=s,Lt sin(k t)

Passo 5

Para achar Lt sin(k t), usamos o fato de que Lt f(t)=-ddsF(s). Sabendo Lsin(k t)=ks^2+k^2, temos
Lt sin(k t)=-ddsl(ks^2+k^2r)=-kcdotl(-2s(s^2+k^2)^2r)=2ks(s^2+k^2)^2

Passo 6

Portanto
Lk tcos(k t)+sin(k t)=scdot2ks(s^2+k^2)^2=2k s^2(s^2+k^2)^2

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}{k t \cos(k t)+\sin(k t)\} = \frac{2k s2}{(s2+k2)2}

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