Calcular a derivada das funções compostas abaixo empregando a Regra da Cadeia.
f(t)=t \operatorname{arc} \cos 3 t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t) = t \,\operatorname{arccos}(3t).
Aqui vamos usar a regra do produto e, dentro dela, a regra da cadeia para derivar a função inversa cosseno.

Passo 2

Aplicando a regra do produto,
\frac{d}{dt}\bigl[t\,\operatorname{arccos}(3t)\bigr] = \frac{d}{dt}[t]\cdot \operatorname{arccos}(3t) + t\cdot \frac{d}{dt}\bigl[\operatorname{arccos}(3t)\bigr].
Como \frac{d}{dt}[t]=1, fica
f'(t) = \operatorname{arccos}(3t) + t\cdot \frac{d}{dt}\bigl[\operatorname{arccos}(3t)\bigr].

Passo 3

Para derivar \operatorname{arccos}(3t) usamos a regra da cadeia. Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{arccos}(u)\bigr] = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}.
Aqui u=3t e \frac{du}{dt}=3. Logo
\frac{d}{dt}\bigl[\operatorname{arccos}(3t)\bigr] = -\frac{1}{\sqrt{1-(3t)^2}}\cdot 3 = -\frac{3}{\sqrt{1-9t^2}}.

Passo 4

Substituindo esse resultado em f'(t), obtemos
f'(t) = \operatorname{arccos}(3t) + t\Bigl(-\frac{3}{\sqrt{1-9t^2}}\Bigr) = \operatorname{arccos}(3t) - \frac{3t}{\sqrt{1-9t^2}}.

Resposta

f'(t) = \operatorname{arccos}(3t) - \frac{3t}{\sqrt{1-9t^2}}.

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