Calcular a derivada das funções compostas abaixo empregando a Regra da Cadeia.
f(u)=(u \operatorname{tg} u)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(u) = \bigl(u\,\operatorname{tg}u\bigr)^{2}.
O conteúdo que vamos usar inclui a Regra da Cadeia para funções compostas, a Regra do Produto para derivar u\,\operatorname{tg}u e a derivada de \operatorname{tg}u, que é \operatorname{sec}^{2}u.

Passo 2

Definimos uma função externa
g(v)=v^{2}
e uma função interna
h(u)=u\,\operatorname{tg}u,
de modo que
f(u)=g\bigl(h(u)\bigr).
Pela Regra da Cadeia,
f'(u)=g'\bigl(h(u)\bigr)\,\cdot\,h'(u) =2\,h(u)\,\cdot\,h'(u).

Passo 3

Agora calculamos h'(u) pela Regra do Produto em h(u)=u\cdot\operatorname{tg}u:
h'(u) =\frac{d}{du}\bigl(u\bigr)\,\operatorname{tg}u +u\,\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{tg}u\bigr) =1\cdot\operatorname{tg}u +u\cdot\operatorname{sec}^{2}u =\operatorname{tg}u+u\,\operatorname{sec}^{2}u.

Passo 4

Substituindo h(u) e h'(u) em f'(u)=2\,h(u)\,h'(u), obtemos
f'(u) =2\,(u\,\operatorname{tg}u)\,\bigl(\operatorname{tg}u+u\,\operatorname{sec}^{2}u\bigr).

Resposta

f'(u)=2\,u\,\operatorname{tg}u\;\bigl(u\,\operatorname{sec}^{2}u+\operatorname{tg}u\bigr).

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