Calcular a derivada das funções compostas abaixo empregando a Regra da Cadeia.
f(t)=\operatorname{arc} \cos (\operatorname{sen} t)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(t)=\operatorname{arccos}(\operatorname{sen} t). Aqui vamos usar a Regra da Cadeia, decompondo em duas funções:
u(t)=\operatorname{sen} t (parte “interna”) e
g(u)=\operatorname{arccos} u (parte “externa”).

Passo 2

Derivada da parte interna u(t)=\operatorname{sen} t.
u'(t)=\cos t.

Passo 3

Derivada da parte externa g(u)=\operatorname{arccos} u. Sabe-se que
g'(u)=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}.

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia:
f'(t)=g'\bigl(u(t)\bigr)\,\cdot\,u'(t) =-\frac{1}{\sqrt{1-(\operatorname{sen} t)^2}}\;\cdot\;\cos t =-\frac{\cos t}{\sqrt{1-\sin^2 t}}.

Resposta

f'(t)=-\frac{\cos t}{\sqrt{1-\sin^2 t}}.

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