Calcular a derivada das funções compostas abaixo empregando a Regra da Cadeia.
f(t)=t^{2} \operatorname{arc} \operatorname{cosec}(2 t+3)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t) = t^{2}\,\operatorname{arccsc}\bigl(2t+3\bigr)
usando a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos precisar de:
– derivada de t^{2},
– derivada da função inversa \operatorname{arccsc}(u) e
– aplicar a cadeia para u=2t+3.

Passo 2

Aplicando a regra do produto em
f(t) = t^{2}\cdot \operatorname{arccsc}\bigl(2t+3\bigr)
temos
f'(t) = \bigl(t^{2}\bigr)'\,\operatorname{arccsc}\bigl(2t+3\bigr) + t^{2}\,\frac{d}{dt}\!\Bigl[\operatorname{arccsc}(2t+3)\Bigr].
Como \bigl(t^{2}\bigr)' = 2t,
f'(t) = 2t\,\operatorname{arccsc}\bigl(2t+3\bigr) + t^{2}\,\frac{d}{dt}\!\Bigl[\operatorname{arccsc}(2t+3)\Bigr].

Passo 3

Para a derivada de \operatorname{arccsc}(u) em função de u, usamos
\frac{d}{du}\Bigl[\operatorname{arccsc}(u)\Bigr] = -\frac{1}{\lvert u\rvert\,\sqrt{u^{2}-1}}.
Agora aplicamos a cadeia com u=2t+3, cuja derivada é u'=2.

Passo 4

Então
\frac{d}{dt}\!\Bigl[\operatorname{arccsc}(2t+3)\Bigr] = -\frac{1}{\lvert 2t+3\rvert\,\sqrt{(2t+3)^{2}-1}}\;\cdot 2 = -\frac{2}{\lvert 2t+3\rvert\,\sqrt{(2t+3)^{2}-1}}.
Substituindo em f'(t):
f'(t) = 2t\,\operatorname{arccsc}\bigl(2t+3\bigr) - t^{2}\,\frac{2}{\lvert 2t+3\rvert\,\sqrt{(2t+3)^{2}-1}}.

Resposta

f'(t) = 2t\,\operatorname{arccsc}\bigl(2t+3\bigr) - \frac{2\,t^{2}}{\lvert 2t+3\rvert\,\sqrt{(2t+3)^{2}-1}}.

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