(2.0 Pts.) Resolva a Equação diferencial de primeira ordem
x^{2} y^{\prime}+x(x+2) y=e^{x} .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x^{2}y'+x(x+2)y=e^{x}.
Trata-se de uma equação linear na forma y'+P(x)y=Q(x), e vamos usar o fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão dividindo por x^{2} (supondo x\neq0):
y'+\frac{x+2}{x}\,y=\frac{e^{x}}{x^{2}}.
Aqui
P(x)=1+\frac{2}{x}, \quad Q(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)\,dx\Bigr) =\exp\bigl(x+2\ln|x|\bigr) =e^{x}x^{2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x):
e^{x}x^{2}y' +e^{x}x^{2}\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr)y =\frac{e^{x}}{x^{2}}\;e^{x}x^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}x^{2}y\bigr)=e^{2x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
e^{x}x^{2}y=\int e^{2x}\,dx =\frac{1}{2}e^{2x}+C,
onde C é constante arbitrária. Portanto
y=\frac{\tfrac12e^{2x}+C}{e^{x}x^{2}} =\frac{e^{x}}{2x^{2}}+\frac{C\,e^{-x}}{x^{2}}.

Resposta

\boxed{y(x)=\frac{e^{x}}{2x^{2}}+\frac{C\,e^{-x}}{x^{2}},\quad C\in\mathbb{R}.}

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