Calcular a derivada das funções compostas abaixo empregando a Regra da Cadeia.
f(x)=\sqrt[3]{\left(3 x^{2}+6 x-2\right)^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt[3]{\bigl(3x^2+6x-2\bigr)^2}.
O conteúdo é aplicação da Regra da Cadeia combinada com a Regra do Poder (derivada de u^n). Vamos reescrever a função em potência e aplicar a cadeia passo a passo.

Passo 2

Reescrevendo a raiz e o quadrado como uma potência única, temos
f(x)=\bigl(3x^2+6x-2\bigr)^{\tfrac{2}{3}}.

Passo 3

Na Regra da Cadeia, identificamos a função interna
u(x)=3x^2+6x-2
e calculamos sua derivada
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^2+6x-2\bigr)=6x+6=6(x+1).

Passo 4

Aplicando a Regra do Poder à função composta f(x)=(u(x))^{2/3}, obtemos
f'(x) =\frac{2}{3}\,(u(x))^{\frac{2}{3}-1}\,u'(x) =\frac{2}{3}\,\bigl(3x^2+6x-2\bigr)^{-\tfrac{1}{3}}\,(6x+6).

Passo 5

Simplificando o coeficiente:
\frac{2}{3}\,(6x+6) =\frac{2}{3}\cdot6(x+1) =4(x+1),
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f'(x) =4(x+1)\,\bigl(3x^2+6x-2\bigr)^{-\tfrac{1}{3}}.

Passo 6

Para ficar em notação de radical, escrevemos
f'(x) =\frac{4(x+1)}{\sqrt[3]{3x^2+6x-2}}.

Resposta

f'(x)=4(x+1)\,\bigl(3x^2+6x-2\bigr)^{-\tfrac{1}{3}} \quad\text{ou}\quad f'(x)=\frac{4(x+1)}{\sqrt[3]{3x^2+6x-2}}.

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