Calcular a derivada das funções compostas abaixo empregando a Regra da Cadeia.
f(t)=\left(7 t^{2}+6 t\right)^{7}(3 t-1)^{4}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t)=\bigl(7t^{2}+6t\bigr)^{7}\,(3t-1)^{4}
usando Regra do Produto e Regra da Cadeia.

Passo 2

Vamos escrever
u(t)=\bigl(7t^{2}+6t\bigr)^{7}, \quad v(t)=(3t-1)^{4}
e aplicar a Regra do Produto:
f'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).

Passo 3

Calculamos u'(t) por Regra da Cadeia:
a parte externa é \bigl(\,\cdot\,\bigr)^{7} e a interna é 7t^{2}+6t.
u'(t) =7\bigl(7t^{2}+6t\bigr)^{6}\,\frac{d}{dt}(7t^{2}+6t) =7\bigl(7t^{2}+6t\bigr)^{6}(14t+6).
Para v'(t), a parte externa é \bigl(\,\cdot\,\bigr)^{4} e a interna é 3t-1.
v'(t) =4(3t-1)^{3}\,\frac{d}{dt}(3t-1) =4(3t-1)^{3}\cdot3 =12(3t-1)^{3}.

Passo 4

Substituindo em f'(t)=u'v+uv':
f'(t) =7\bigl(7t^{2}+6t\bigr)^{6}(14t+6)\,(3t-1)^{4} +\bigl(7t^{2}+6t\bigr)^{7}\,12(3t-1)^{3}.

Passo 5

Fatoramos o máximo em comum \bigl(7t^{2}+6t\bigr)^{6}(3t-1)^{3}:
f'(t) =\bigl(7t^{2}+6t\bigr)^{6}(3t-1)^{3} \Bigl[ 7(14t+6)(3t-1)+12(7t^{2}+6t) \Bigr].
Dentro do colchete:
7(14t+6)(3t-1)=294t^{2}+28t-42, \quad 12(7t^{2}+6t)=84t^{2}+72t,
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294t^{2}+28t-42+84t^{2}+72t =378t^{2}+100t-42.

Resposta

f'(t) =(7t^{2}+6t)^{6}(3t-1)^{3}\bigl(378t^{2}+100t-42\bigr).

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