Calcular a derivada das funções abaixo empregando as regras de derivação.
f(x)=\frac{x+1}{x+2}\left(3 x^{2}+6 x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x+1}{x+2}\bigl(3x^{2}+6x\bigr).
O conteúdo aqui envolve as regras de derivação de produto, quociente e, sempre que possível, simplificação algébrica antes de derivar.

Passo 2

Note que
3x^{2}+6x=3x(x+2).
Substituindo na definição de f e simplificando com o denominador (x+2), temos
f(x) =\frac{x+1}{x+2}\cdot 3x(x+2) =3x(x+1).

Passo 3

Agora derivamos a forma simplificada f(x)=3x(x+1)=3x^{2}+3x. Usando a regra da soma e a regra da potência,
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(3x\bigr) =3\cdot 2x + 3\cdot 1 =6x+3.

Resposta

f'(x)=6x+3.

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