Calcular a derivada das funções:
y=(2 x+4) \cdot \ln 3 x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada de y=(2x+4)\cdot \ln(3x) em relação a x.
Informações dadas e observações iniciais: a função é \;y=(2x+4)\cdot \ln(3x).; Note que o logaritmo natural exige argumento positivo, então o domínio relevante é 3x>0, isto é, x>0.

Passo 2

Regra do produto — o que é e por que usar aqui.
Quando temos uma função que é produto de duas funções, digamos f(x) e g(x), a derivada é dada pela regra do produto:
\big(f(x)\,g(x)\big)' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x).
Aqui cada símbolo significa:
  • f(x) e g(x) são as duas funções que estão sendo multiplicadas;
  • f'(x) é a derivada de f em relação a x;
  • g'(x) é a derivada de g em relação a x.
    No nosso problema identificamos f(x)=2x+4 e g(x)=\ln(3x). Por isso vamos aplicar essa fórmula.

Passo 3

Regra da cadeia e derivada do logaritmo natural — ferramenta para g'(x).
A derivada de uma função composta h(x)=\ln(u(x)) usa a regra da cadeia. A regra geral para h(x)=\ln(u(x)) é:
h'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x) é a função interna (ou seja, tudo que está dentro do \ln) e u'(x) é sua derivada. Isso vem do fato básico de que (\ln t)'=1/t aplicado à variável t=u(x), e depois multiplicamos por u'(x) por causa da cadeia.
Um exemplo rápido e simples: para \ln(5x), temos u(x)=5x e u'(x)=5, então
\frac{d}{dx}\ln(5x)=\frac{5}{5x}=\frac{1}{x}.
Repare que a constante multiplicativa dentro do log desaparece na forma final \frac{1}{x} — isso acontece sempre que o interior é uma constante vezes x.

Passo 4

Calcule f'(x) para f(x)=2x+4.
A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de 2x é 2, enquanto a derivada de uma constante é 0. Logo,
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x+4)=2.

Passo 5

Calcule g'(x) para g(x)=\ln(3x) usando a regra da cadeia.
Tomamos u(x)=3x, então u'(x)=3. Aplicando a fórmula da derivada do logaritmo:
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}.
Portanto \displaystyle \frac{d}{dx}\ln(3x)=\frac{1}{x}. (Isto é análogo ao exemplo com \ln(5x) do passo anterior.)

Passo 6

Agora aplique a regra do produto com os resultados dos passos anteriores.
Usando f'(x)=2, f(x)=2x+4, g(x)=\ln(3x) e g'(x)=1/x, temos:
y' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x) = 2\cdot \ln(3x) + (2x+4)\cdot\frac{1}{x}.

Passo 7

Simplifique a expressão obtida para ficar mais prática na prova.
A segunda parcela pode ser escrita como fração:
(2x+4)\cdot\frac{1}{x}=\frac{2x+4}{x}=\frac{2x}{x}+\frac{4}{x}=2+\frac{4}{x}.
Substituindo na derivada:
y' = 2\ln(3x) + 2 + \frac{4}{x}.
Lembre-se do domínio: essa expressão é válida para x>0.

Resposta

y' = 2\ln(3x) + 2 + \frac{4}{x}

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