Calcular a derivada das funções:
y=(2 x+4) \cdot \ln 3 x
y=(2 x+4) \cdot \ln 3 x
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada de
em relação a
.
Informações dadas e observações iniciais: a função é .; Note que o logaritmo natural exige argumento positivo, então o domínio relevante é
, isto é,
.
Informações dadas e observações iniciais: a função é
Passo 2
Regra do produto — o que é e por que usar aqui.
Quando temos uma função que é produto de duas funções, digamos e
, a derivada é dada pela regra do produto:
Quando temos uma função que é produto de duas funções, digamos
Aqui cada símbolo significa:
-
e são as duas funções que estão sendo multiplicadas; -
é a derivada de em relação a ; -
é a derivada de em relação a .
No nosso problema identificamose . Por isso vamos aplicar essa fórmula.
Passo 3
Regra da cadeia e derivada do logaritmo natural — ferramenta para
.
A derivada de uma função composta usa a regra da cadeia. A regra geral para
é:
A derivada de uma função composta
Aqui
é a função interna (ou seja, tudo que está dentro do
) e
é sua derivada. Isso vem do fato básico de que
aplicado à variável
, e depois multiplicamos por
por causa da cadeia.
Um exemplo rápido e simples: para
, temos
e
, então
Repare que a constante multiplicativa dentro do log desaparece na forma final
— isso acontece sempre que o interior é uma constante vezes
.
Passo 4
Calcule
para
.
A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de é
, enquanto a derivada de uma constante é
. Logo,
A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de
Passo 5
Calcule
para
usando a regra da cadeia.
Tomamos , então
. Aplicando a fórmula da derivada do logaritmo:
Tomamos
Portanto
. (Isto é análogo ao exemplo com
do passo anterior.)
Passo 6
Agora aplique a regra do produto com os resultados dos passos anteriores.
Usando ,
,
e
, temos:
Usando
Passo 7
Simplifique a expressão obtida para ficar mais prática na prova.
A segunda parcela pode ser escrita como fração:
A segunda parcela pode ser escrita como fração:
Substituindo na derivada:
Lembre-se do domínio: essa expressão é válida para
.