Calcular a derivada das funções:
y=\frac{1+x{2}}{1-x{2}}
y=\frac{1+x{2}}{1-x{2}}
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas: a função é a razão entre o numerador
e o denominador
. Observação importante: a função não está definida quando
, isto é, em
. A tarefa é encontrar
(a derivada em relação a
) para os pontos onde a função está definida.
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar: regra do poder (power rule) para derivar polinômios. A regra diz que, para
com
constante, temos
Aplicando isso:
e a derivada de uma constante é zero:
Guardamos isso porque o numerador e o denominador são polinômios simples.
Passo 3
Método escolhido: regra do quociente. Vou explicar ela direitinho. Se tivermos uma função dada por
, com
, a derivada é
Aqui
significa
e
significa
. Intuição rápida: quem está em cima (o numerador) aparece derivado multiplicado pelo denominador; de cada termo um é subtraído do outro; o denominador fica ao quadrado. Essa fórmula é padrão e é a forma mais direta quando temos uma razão de duas funções.
Passo 4
Identificamos
e
para o nosso problema:
Agora derivamos cada um usando o que vimos no Passo 2:
Passo 5
Aplicamos a regra do quociente substituindo
na fórmula
Substituindo:
Agora vamos simplificar o numerador passo a passo. Primeiro expandimos os fatores com
:
Como no numerador temos a expressão
, isso é
O segundo termo tem menos sinal, então fica adição:
Agora somamos dentro do colchete:
Observe que
e
se cancelam:
Logo o numerador torna-se
Passo 6
Substituindo a simplificação no quociente, obtemos
Lembrete de domínio: essa expressão é válida para todos os
tais que
, ou seja,
, que eram os pontos onde a função original não está definida.
Passo 7
Checagem rápida: para
temos
. Faz sentido porque
em
vale
e a curva tem tangente horizontal ali — é um bom sinal de que o resultado está coerente. Também podemos ver que a derivada é uma função ímpar (pois depende de
linear no numerador) e que tem singularidades em
, como esperado.