Calcular a derivada das funções:
y=\frac{1+x{2}}{1-x{2}}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
y=\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}.
Informações dadas: a função é a razão entre o numerador \,1+x^{2}\, e o denominador \,1-x^{2}\,. Observação importante: a função não está definida quando 1-x^{2}=0, isto é, em x=\pm 1. A tarefa é encontrar y' (a derivada em relação a x) para os pontos onde a função está definida.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar: regra do poder (power rule) para derivar polinômios. A regra diz que, para f(x)=x^{n} com n constante, temos
f'(x)=n x^{n-1}.
Aplicando isso:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x,
e a derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}(1)=0.
Guardamos isso porque o numerador e o denominador são polinômios simples.

Passo 3

Método escolhido: regra do quociente. Vou explicar ela direitinho. Se tivermos uma função dada por y=\dfrac{u(x)}{v(x)}, com v(x)\neq 0, a derivada é
y'=\frac{v\,u'-u\,v'}{v^{2}}.
Aqui u' significa \dfrac{du}{dx} e v' significa \dfrac{dv}{dx}. Intuição rápida: quem está em cima (o numerador) aparece derivado multiplicado pelo denominador; de cada termo um é subtraído do outro; o denominador fica ao quadrado. Essa fórmula é padrão e é a forma mais direta quando temos uma razão de duas funções.

Passo 4

Identificamos u e v para o nosso problema:
u(x)=1+x^{2},\qquad v(x)=1-x^{2}.
Agora derivamos cada um usando o que vimos no Passo 2:
u'(x)=\frac{d}{dx}(1+x^{2})=0+2x=2x,
v'(x)=\frac{d}{dx}(1-x^{2})=0-2x=-2x.

Passo 5

Aplicamos a regra do quociente substituindo u,\;v,\;u',\;v' na fórmula
y'=\frac{v\,u' - u\,v'}{v^{2}}.
Substituindo:
y'=\frac{(1-x^{2})\cdot(2x) - (1+x^{2})\cdot(-2x)}{(1-x^{2})^{2}}.
Agora vamos simplificar o numerador passo a passo. Primeiro expandimos os fatores com 2x:
(1-x^{2})\cdot(2x)=2x(1-x^{2})=2x-2x^{3},
(1+x^{2})\cdot(-2x)=-2x(1+x^{2})=-2x-2x^{3}.
Como no numerador temos a expressão (1-x^{2})(2x) - (1+x^{2})(-2x), isso é
2x(1-x^{2}) - \bigl(-2x(1+x^{2})\bigr).
O segundo termo tem menos sinal, então fica adição:
2x(1-x^{2}) + 2x(1+x^{2}).
Agora somamos dentro do colchete:
2x\bigl[(1-x^{2})+(1+x^{2})\bigr]=2x(1-x^{2}+1+x^{2}).
Observe que -x^{2} e +x^{2} se cancelam:
1-x^{2}+1+x^{2}=2.
Logo o numerador torna-se
2x\cdot 2 = 4x.

Passo 6

Substituindo a simplificação no quociente, obtemos
y'=\frac{4x}{(1-x^{2})^{2}}.
Lembrete de domínio: essa expressão é válida para todos os x tais que 1-x^{2}\neq 0, ou seja, x\neq \pm 1, que eram os pontos onde a função original não está definida.

Passo 7

Checagem rápida: para x=0 temos y'=\dfrac{4\cdot 0}{(1-0)^{2}}=0. Faz sentido porque y em x=0 vale 1 e a curva tem tangente horizontal ali — é um bom sinal de que o resultado está coerente. Também podemos ver que a derivada é uma função ímpar (pois depende de x linear no numerador) e que tem singularidades em x=\pm 1, como esperado.

Resposta

y'=\frac{4x}{(1-x^{2})^{2}},\quad x\neq \pm 1

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