Calcular a derivada das funções:
y=\frac{\ln x}{x}
y=\frac{\ln x}{x}
Passo 1
O problema pede que a gente calcule a derivada da função
Informações dadas e observações importantes:
- A função usa
, por isso o domínio natural é . - A tarefa é encontrar
, a derivada de em função de . - Nada mais foi pedido além da derivada (mas ao final vou dar uma dica útil para a prova).
Passo 2
Escolhendo um método prático (e que facilita contas sem inventar erro):
- Reescrevemos a função como produto para usar a regra do produto, que é bem direta:
Vou explicar as regras que vou usar, devagarinho.
Regra do produto:
- Se
e são funções, então a derivada de é
Aqui
e
. É a fórmula básica para quando duas funções são multiplicadas.
Derivada de
:
- Se
e , então
Uma forma rápida de ver isso é: escreva
. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
. Como
, obtemos
.
Regra da potência (caso de
):
- Se
, então . Para obtemos
Passo 3
Agora aplicamos a regra do produto a
Identificando
e
, temos:
Pela regra do produto,
Passo 4
Vamos simplificar termo a termo, com calma:
- O primeiro termo
é . - O segundo termo
é .
Assim
Fatorando
(ou
) fica mais elegante:
Passo 5
Confirmação rápida pelo método da razão (regra do quociente), só para você ver que dá o mesmo resultado:
- Se
, a regra do quociente diz
mesma resposta — ótimo sinal de consistência.
Passo 6
Dica de prova (vale anotar): o ponto crítico onde
ocorre quando
, ou seja
então
. Isso significa que a função tem derivada zero em
(útil se o enunciado pedir máximos/mínimos). Lembre-se também de sempre verificar o domínio
antes de pôr
em jogo.
Força aí — você conseguiu chegar até aqui! Refaça os passos sozinho mais uma vez em folha para fixar.