Calcular a derivada das funções:
y=\frac{\ln x}{x}

Passo 1

O problema pede que a gente calcule a derivada da função
y=\frac{\ln x}{x}.
Informações dadas e observações importantes:
  • A função usa \ln x, por isso o domínio natural é x>0.
  • A tarefa é encontrar y', a derivada de y em função de x.
  • Nada mais foi pedido além da derivada (mas ao final vou dar uma dica útil para a prova).

Passo 2

Escolhendo um método prático (e que facilita contas sem inventar erro):
  • Reescrevemos a função como produto para usar a regra do produto, que é bem direta:
y=(\ln x)\cdot x^{-1}.
Vou explicar as regras que vou usar, devagarinho.
Regra do produto:
  • Se u(x) e v(x) são funções, então a derivada de u\cdot v é
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u'=\dfrac{du}{dx} e v'=\dfrac{dv}{dx}. É a fórmula básica para quando duas funções são multiplicadas.
Derivada de \ln x:
  • Se u(x)=\ln x e x>0, então
u'(x)=\frac{1}{x}.
Uma forma rápida de ver isso é: escreva x=e^{u}. Diferenciando ambos os lados em relação a x: 1 = e^{u}\,u'. Como e^{u}=x, obtemos u'=\dfrac{1}{x}.
Regra da potência (caso de x^{-1}):
  • Se v(x)=x^{n}, então v'(x)=n x^{n-1}. Para n=-1 obtemos
v(x)=x^{-1}\quad\Rightarrow\quad v'(x)=-1\cdot x^{-2} = -x^{-2}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto a
y=(\ln x)\cdot x^{-1}.
Identificando u(x)=\ln x e v(x)=x^{-1}, temos:
u'(x)=\frac{1}{x},\qquad v'(x)=-x^{-2}.
Pela regra do produto,
y' = u'v + uv' = \frac{1}{x}\cdot x^{-1} + \ln x \cdot (-x^{-2}).

Passo 4

Vamos simplificar termo a termo, com calma:
  • O primeiro termo \dfrac{1}{x}\cdot x^{-1} é x^{-1}\cdot x^{-1}=x^{-2}.
  • O segundo termo \ln x \cdot (-x^{-2}) é -\ln x\;x^{-2}.
Assim
y' = x^{-2} - \ln x\;x^{-2}.
Fatorando x^{-2} (ou \dfrac{1}{x^{2}}) fica mais elegante:
y' = x^{-2}\bigl(1 - \ln x\bigr) = \frac{1-\ln x}{x^{2}}.

Passo 5

Confirmação rápida pelo método da razão (regra do quociente), só para você ver que dá o mesmo resultado:
  • Se y=\dfrac{\ln x}{x}, a regra do quociente diz
y'=\frac{x\cdot(\ln x)' - (\ln x)\cdot x'}{x^{2}} = \frac{x\cdot\frac{1}{x} - \ln x\cdot 1}{x^{2}} = \frac{1-\ln x}{x^{2}},
mesma resposta — ótimo sinal de consistência.

Passo 6

Dica de prova (vale anotar): o ponto crítico onde y'=0 ocorre quando 1-\ln x=0, ou seja \ln x=1 então x=e. Isso significa que a função tem derivada zero em x=e (útil se o enunciado pedir máximos/mínimos). Lembre-se também de sempre verificar o domínio x>0 antes de pôr \ln x em jogo.
Força aí — você conseguiu chegar até aqui! Refaça os passos sozinho mais uma vez em folha para fixar.

Resposta

\displaystyle y'=\frac{1-\ln x}{x^{2}}

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