Calcular a derivada das seguintes funções:
y=-\frac{\operatorname{sen} t}{6}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=-\dfrac{\operatorname{sen} t}{6}.
Informações dadas: a variável independente é t; a função trigonométrica presente é \operatorname{sen} t (seno de t); há um fator constante -\dfrac{1}{6} multiplicando o seno. A tarefa é encontrar \dfrac{dy}{dt} (a derivada de y em relação a t).

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: escrever a função destacando o fator constante. Podemos reescrever
y = -\dfrac{\operatorname{sen} t}{6} = -\dfrac{1}{6}\,\operatorname{sen} t.
Isso deixa claro que temos uma constante multiplicando a função \operatorname{sen} t.

Passo 3

Regra que vamos usar: a regra do fator constante. Ela diz que, se c é uma constante e f(t) é uma função diferenciável, então
\frac{d}{dt}\big(c\cdot f(t)\big) = c\cdot f'(t).
Explicando: a derivada “puxa para fora” constantes — ou seja, multiplicar por uma constante antes de derivar é o mesmo que derivar e depois multiplicar pelo mesmo número. Aqui c=-\dfrac{1}{6} e f(t)=\operatorname{sen} t.

Passo 4

Agora precisamos da derivada da função seno. Resultado padrão (que você deve decorar para provas) é:
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sen} t\big) = \cos t.
Significado: quando variamos t, a taxa de variação instantânea de \operatorname{sen} t é \cos t. Uma derivação rigorosa vem do limite da definição da derivada, mas para exercícios práticos decoramos essa relação e lembramos que a derivada do seno é o cosseno.

Passo 5

Aplicando a regra do fator constante (Passo 3) e a derivada do seno (Passo 4) à função y=-\dfrac{1}{6}\,\operatorname{sen} t, obtemos
\frac{dy}{dt} = -\dfrac{1}{6}\cdot\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sen} t\big) = -\dfrac{1}{6}\cdot\cos t.
Portanto a derivada é -\dfrac{1}{6}\cos t.

Passo 6

Checagem rápida e exemplo extra para fixar: se tivesse y=2\operatorname{sen} t, pela mesma regra \dfrac{dy}{dt}=2\cos t. Aqui só muda o fator constante.

Resposta

\displaystyle y'=-\frac{1}{6}\cos t

Exercícios relacionados