Calcular a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Informações dadas: a variável independente é ; a função trigonométrica presente é
(seno de
); há um fator constante
multiplicando o seno. A tarefa é encontrar
(a derivada de
em relação a
).
Informações dadas: a variável independente é
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples: escrever a função destacando o fator constante. Podemos reescrever
Isso deixa claro que temos uma constante multiplicando a função
.
Passo 3
Regra que vamos usar: a regra do fator constante. Ela diz que, se
é uma constante e
é uma função diferenciável, então
Explicando: a derivada “puxa para fora” constantes — ou seja, multiplicar por uma constante antes de derivar é o mesmo que derivar e depois multiplicar pelo mesmo número. Aqui
e
.
Passo 4
Agora precisamos da derivada da função seno. Resultado padrão (que você deve decorar para provas) é:
Significado: quando variamos
, a taxa de variação instantânea de
é
. Uma derivação rigorosa vem do limite da definição da derivada, mas para exercícios práticos decoramos essa relação e lembramos que a derivada do seno é o cosseno.
Passo 5
Aplicando a regra do fator constante (Passo 3) e a derivada do seno (Passo 4) à função
, obtemos
Portanto a derivada é
.
Passo 6
Checagem rápida e exemplo extra para fixar: se tivesse
, pela mesma regra
. Aqui só muda o fator constante.