Calcular a derivada das seguintes funções:
y=4 x^{3}+12 x+6

Passo 1

O enunciado pede: "Calcular a derivada da função \,y=4x^{3}+12x+6".\n
Informações fornecidas: a função é um polinômio em \,x com três termos: \,4x^{3}, \,12x e \,6. A tarefa é encontrar a derivada em relação a \,x (ou seja, \,\dfrac{dy}{dx} ou \,y').

Passo 2

Conceitos e fórmulas que precisamos (explicação didática):\n
  • Regra da linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja,
\frac{d}{dx}\big(f(x)+g(x)\big)=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x).
  • Constante fatorada: uma constante pode sair da derivada:
\frac{d}{dx}\big(a\cdot f(x)\big)=a\cdot\frac{d}{dx}f(x),
onde \,a é constante.
  • Regra da potência (essencial para polinômios): para um expoente natural \,n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}.
Aqui \,n é o expoente e \,x a variável; a regra diz que baixamos o expoente e subtraímos 1 no expoente.
  • Derivada de constante: se \,c é constante,
\frac{d}{dx}c=0.

Passo 3

Aplicando a linearidade, escrevemos a derivada da função como soma das derivadas de cada termo:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\big(4x^{3}\big)+\frac{d}{dx}\big(12x\big)+\frac{d}{dx}\big(6\big).

Passo 4

Derivada do primeiro termo \,4x^{3}: use constante fatorada e a regra da potência.
\frac{d}{dx}\big(4x^{3}\big)=4\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=4\cdot(3x^{2})=12x^{2}.
Explicação: primeiro tiramos o 4 pra fora da derivada; depois aplicamos que \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.

Passo 5

Derivada do segundo termo \,12x: aqui x tem expoente \,1, então
\frac{d}{dx}\big(12x\big)=12\cdot\frac{d}{dx}(x)=12\cdot 1=12.
Explicação: \dfrac{d}{dx}x=1 (caso especial da regra da potência com n=1).

Passo 6

Derivada do terceiro termo \,6 (constante):
\frac{d}{dx}(6)=0.
Explicação: constantes desaparecem na derivada porque não mudam quando \,x varia.

Passo 7

Somando os resultados dos termos:
\frac{dy}{dx}=12x^{2}+12+0=12x^{2}+12.
Podemos também fatorar para simplificar a expressão:
\frac{dy}{dx}=12\big(x^{2}+1\big).
Dica prática para prova: aplicar diretamente a regra "derivada de a x^{n} é a n x^{n-1}" acelera muito o cálculo.

Passo 8

Exemplo rápido extra (para fixar): se tivéssemos \,z=5x^{4}-3x^{2}+7, usando a mesma ideia teríamos
\frac{dz}{dx}=5\cdot 4x^{3}-3\cdot 2x^{1}+0=20x^{3}-6x.
Isso mostra a mecânica que você usa em qualquer polinômio.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=12x^{2}+12

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