Calcular a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: "Calcular a derivada da função
".\n
Informações fornecidas: a função é um polinômio em com três termos:
,
e
. A tarefa é encontrar a derivada em relação a
(ou seja,
ou
).
Informações fornecidas: a função é um polinômio em
Passo 2
Conceitos e fórmulas que precisamos (explicação didática):\n
- Regra da linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja,
- Constante fatorada: uma constante pode sair da derivada:
onde
é constante.
- Regra da potência (essencial para polinômios): para um expoente natural
,
Aqui
é o expoente e
a variável; a regra diz que baixamos o expoente e subtraímos 1 no expoente.
- Derivada de constante: se
é constante,
Passo 3
Aplicando a linearidade, escrevemos a derivada da função como soma das derivadas de cada termo:
Passo 4
Derivada do primeiro termo
: use constante fatorada e a regra da potência.
Explicação: primeiro tiramos o
pra fora da derivada; depois aplicamos que
.
Passo 5
Derivada do segundo termo
: aqui
tem expoente
, então
Explicação:
(caso especial da regra da potência com
).
Passo 6
Derivada do terceiro termo
(constante):
Explicação: constantes desaparecem na derivada porque não mudam quando
varia.
Passo 7
Somando os resultados dos termos:
Podemos também fatorar para simplificar a expressão:
Dica prática para prova: aplicar diretamente a regra "derivada de
é
" acelera muito o cálculo.
Passo 8
Exemplo rápido extra (para fixar): se tivéssemos
, usando a mesma ideia teríamos
Isso mostra a mecânica que você usa em qualquer polinômio.