Calcular a derivada das seguintes funções:
y=\left(8 x^{2}+4\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=\left(8 x^{2}+4\right)^{2}.
Informações dadas:
\text{função } y \text{ definida por } y=\left(8 x^{2}+4\right)^{2}.çã
Pergunta explícita: encontrar \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x).

Passo 2

Qual técnica usar? Aqui temos uma função elevada ao quadrado cujo conteúdo depende de x. Para funções compostas do tipo y=(u(x))^{n} usamos a regra da cadeia. Vou explicar essa regra com calma.
Regra da cadeia (forma prática): se y=(u(x))^{n}, então
\frac{dy}{dx}=n\cdot (u(x))^{\,n-1}\cdot u'(x).
O que significam os símbolos:
  • u(x) é a “função interior” — a expressão que está elevada a uma potência;
  • n é o expoente (aqui n=2);
  • u'(x) é a derivada da função interior em relação a x;
  • o produto n\cdot (u(x))^{n-1}\cdot u'(x) combina a regra da potência com a derivada da função interior.
Exemplo curto para fixar: se y=(3x+1)^2, então u(x)=3x+1, u'(x)=3, e
\frac{dy}{dx}=2(3x+1)\cdot 3 = 6(3x+1).
Isso é exatamente aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

No nosso problema identificamos:
u(x)=8x^{2}+4
e o expoente é n=2. Assim y=(u(x))^{2}.

Passo 4

Calcular u'(x). Derivando u(x)=8x^{2}+4 termo a termo:
  • a derivada de 8x^{2} é 8\cdot 2x = 16x,
  • a derivada de 4 (constante) é 0.
Portanto
u'(x)=16x.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=2\cdot (u(x))^{1}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=8x^{2}+4 e u'(x)=16x, temos
\frac{dy}{dx}=2\cdot (8x^{2}+4)\cdot 16x.

Passo 6

Simplificar a expressão encontrada. Primeiro calcule 2\cdot 16x = 32x, então
\frac{dy}{dx}=32x\,(8x^{2}+4).
Podemos fatorar 4 de 8x^{2}+4 se quisermos uma forma mais reduzida:
8x^{2}+4=4(2x^{2}+1),
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\frac{dy}{dx}=32x\cdot 4(2x^{2}+1)=128x(2x^{2}+1).

Passo 7

Como verificação alternativa (opcional): expandir a função antes de derivar. Temos
\left(8x^{2}+4\right)^{2}=64x^{4}+64x^{2}+16.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\left(64x^{4}+64x^{2}+16\right)=256x^{3}+128x,
que é equivalente a 128x(2x^{2}+1). As duas formas coincidem, então a derivada está correta.

Resposta

\frac{dy}{dx}=128x(2x^{2}+1)

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