Calcular a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
Pergunta explícita: encontrar
(a derivada de
em relação a
).
Passo 2
Qual técnica usar? Aqui temos uma função elevada ao quadrado cujo conteúdo depende de
. Para funções compostas do tipo
usamos a regra da cadeia. Vou explicar essa regra com calma.
Regra da cadeia (forma prática): se
, então
O que significam os símbolos:
-
é a “função interior” — a expressão que está elevada a uma potência; -
é o expoente (aqui ); -
é a derivada da função interior em relação a ; - o produto
combina a regra da potência com a derivada da função interior.
Exemplo curto para fixar: se
, então
,
, e
Isso é exatamente aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
No nosso problema identificamos:
e o expoente é
. Assim
.
Passo 4
Calcular
. Derivando
termo a termo:
- a derivada de
é , - a derivada de
(constante) é .
Portanto
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo
e
, temos
Passo 6
Simplificar a expressão encontrada. Primeiro calcule
, então
Podemos fatorar
de
se quisermos uma forma mais reduzida:
logo
Passo 7
Como verificação alternativa (opcional): expandir a função antes de derivar. Temos
Derivando termo a termo:
que é equivalente a
. As duas formas coincidem, então a derivada está correta.