Calcular as derivadas das funções abaixo.
y=\left(1-\frac{x}{7}\right)^{-7}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \left(1 - \frac{x}{7}\right)^{-7}.
O conteúdo principal aqui é o Teorema da Cadeia junto com a Regra da Potência para funções compostas. Vamos identificar a função externa e a interna para aplicar direitinho.

Passo 2

Definimos
u(x) = 1 - \frac{x}{7}
como função interna e
y(u) = u^{-7}
como função externa.
Pela Regra da Cadeia,
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.

Passo 3

Calculamos cada derivada separadamente:
  1. Pela Regra da Potência,
\frac{dy}{du} = -7\,u^{-8}.
  1. Derivando a interna,
\frac{du}{dx} = -\frac{1}{7}.
Multiplicando,
\frac{dy}{dx} = \bigl(-7\,u^{-8}\bigr)\cdot\Bigl(-\frac{1}{7}\Bigr) = (+1)\,u^{-8} = u^{-8}.
Voltando a u = 1 - \frac{x}{7}, temos
\frac{dy}{dx} = \left(1 - \frac{x}{7}\right)^{-8}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \left(1 - \frac{x}{7}\right)^{-8}.

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