Calcular as derivadas das funções definidas implicitamente.
2 x-4 x y^{5} \\. \sqrt{y}=\operatorname{sec} \left(\cos \left(e^{y}\right)\right)

Passo 1

O enunciado define implicitamente y=y(x) pela equação
2x - 4x\,y^{5}\sqrt{y} = \operatorname{sec}\bigl(\cos(e^{y})\bigr).
Queremos encontrar y'=\frac{dy}{dx}. Para isso vamos diferenciar ambos os lados em relação a x, usando regra do produto e cadeia.

Passo 2

Diferenciando o lado esquerdo
\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)=2,
e
\frac{d}{dx}\bigl(-4x\,y^{5}\sqrt{y}\bigr) =-4\bigl(y^{5}\sqrt{y} + x\cdot\frac{d}{dx}\bigl(y^{5}\sqrt{y}\bigr)\bigr).
Como y^{5}\sqrt{y}=y^{11/2}, temos
\frac{d}{dx}\bigl(y^{11/2}\bigr) =\frac{11}{2}y^{9/2}\,y'.
Logo
\frac{d}{dx}\bigl(-4x\,y^{11/2}\bigr) =-4y^{11/2}-4x\cdot\frac{11}{2}y^{9/2}\,y'.

Passo 3

Diferenciando o lado direito
\frac{d}{dx}\Bigl[\operatorname{sec}\bigl(\cos(e^{y})\bigr)\Bigr] =\operatorname{sec}\bigl(\cos(e^{y})\bigr)\tan\bigl(\cos(e^{y})\bigr) \cdot\frac{d}{dx}\bigl(\cos(e^{y})\bigr).
E
\frac{d}{dx}\bigl(\cos(e^{y})\bigr) =-\sin(e^{y})\cdot\frac{d}{dx}(e^{y}) =-\sin(e^{y})\,e^{y}\,y'.
Assim
\frac{d}{dx}\Bigl[\operatorname{sec}(\cos(e^{y}))\Bigr] =-\operatorname{sec}\bigl(\cos(e^{y})\bigr)\tan\bigl(\cos(e^{y})\bigr)\sin(e^{y})e^{y}\,y'.

Passo 4

Juntando tudo na derivada de \;2x -4x\,y^{11/2} = \operatorname{sec}(\cos(e^y)):,
temos
2 -4y^{11/2} -4x\cdot\frac{11}{2}y^{9/2}\,y' = -\operatorname{sec}\bigl(\cos(e^{y})\bigr)\tan\bigl(\cos(e^{y})\bigr)\sin(e^{y})e^{y}\,y'.
Passando termos com y' para um lado e sem y' para o outro:
2 -4y^{11/2} = y'\Bigl[ -\operatorname{sec}(\cos(e^{y}))\tan(\cos(e^{y}))\sin(e^{y})e^{y} +22x\,y^{9/2}\Bigr].

Passo 5

Isolando y':
y' =\frac{2 -4y^{11/2}} {-\operatorname{sec}(\cos(e^{y}))\tan(\cos(e^{y}))\sin(e^{y})e^{y} +22x\,y^{9/2}}.
Podemos multiplicar numerador e denominador por -1 para simplificar o sinal:
y' =\frac{4y^{11/2}-2} {\operatorname{sec}(\cos(e^{y}))\tan(\cos(e^{y}))\sin(e^{y})e^{y} -22x\,y^{9/2}}.

Resposta

\boxed{ y'=\frac{4y^{11/2}-2} {\operatorname{sec}\bigl(\cos(e^{y})\bigr)\tan\bigl(\cos(e^{y})\bigr)\sin(e^{y})e^{y} -22x\,y^{9/2}} }.

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