Calcule as integrais, caso elas existam, e se as funções não forem integráveis, justifique.
(b) \int_{0}^{1} f(x) d x, onde f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{x^{2}}, & 0<x \leq 1 \\\\ 2, & x=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{1}f(x)\,dx,
onde
f(x)= \begin{cases} \dfrac1{x^{2}},&0<x\le1,\\[6pt] 2,&x=0. \end{cases}
O ponto crítico é x=0, pois em 0<x\le1 a função comporta-se como x^{-2}, que tende a +\infty quando x\to0^+. Para decidir se a integral existe, vamos tratar o caso impróprio em 0.]

Passo 2

Definimos a integral imprópria como limite
\int_{0}^{1}f(x)\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^{1} \frac1{x^{2}}\,dx,
pois o valor de f em x=0 não afeta a integral (é um ponto isolado).

Passo 3

Calculemos para \varepsilon>0:
\int_{\varepsilon}^{1} x^{-2}\,dx =\Bigl[-x^{-1}\Bigr]_{\varepsilon}^{1} =\bigl(-1\bigr)-\bigl(-\tfrac1\varepsilon\bigr) =-1+\tfrac1\varepsilon.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando \varepsilon\to0^+:
\lim_{\varepsilon\to0^+}\bigl(-1+\tfrac1\varepsilon\bigr) =+\infty.
Como o limite é infinito, a integral imprópria não converge.

Resposta

A integral
\int_{0}^{1}f(x)\,dx
diverge (não existe valor finito), pois \displaystyle\int_{0}^{1}x^{-2}\,dx=+\infty.

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