Calcular as derivadas das funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função $ y = \arctan(\sqrt{x}) $. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a função composta. Aqui temos duas funções:
- A função externa: $ \arctan(u) $, onde $ u = \sqrt{x} $.
- A função interna: $ u = \sqrt{x} = x^{1/2} $.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da regra da cadeia. Ela diz que se $ y = f(g(x)) $, então a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
Neste caso, $ f(u) = \arctan(u) $ e $ g(x) = \sqrt{x} $.
Passo 4
Vamos calcular a derivada da função externa $ f(u) = \arctan(u) $. A derivada de $ \arctan(u) $ em relação a $ u $ é:
Passo 5
Agora, vamos derivar a função interna $ g(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} $. A derivada de $ x^{n} $ em relação a $ x $ é $ n x^{n-1} $, então:
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia, substituímos $ u = \sqrt{x} $ na derivada da função externa:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão. Sabemos que $ (\sqrt{x})^2 = x $, então:
Resposta
A derivada da função $ y = \arctan(\sqrt{x}) $ é: