Calcular as derivadas das funções.
y=arctg(raizx)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função $ y = \arctan(\sqrt{x}) $. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a função composta. Aqui temos duas funções:
  1. A função externa: $ \arctan(u) $, onde $ u = \sqrt{x} $.
  2. A função interna: $ u = \sqrt{x} = x^{1/2} $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra da cadeia. Ela diz que se $ y = f(g(x)) $, então a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
y = f(g(x))
Neste caso, $ f(u) = \arctan(u) $ e $ g(x) = \sqrt{x} $.

Passo 4

Vamos calcular a derivada da função externa $ f(u) = \arctan(u) $. A derivada de $ \arctan(u) $ em relação a $ u $ é:
f(u) = arctan(u)

Passo 5

Agora, vamos derivar a função interna $ g(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} $. A derivada de $ x^{n} $ em relação a $ x $ é $ n x^{n-1} $, então:
g(x) = raizx = x^1/2

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, substituímos $ u = \sqrt{x} $ na derivada da função externa:
u = raizx

Passo 7

Vamos simplificar a expressão. Sabemos que $ (\sqrt{x})^2 = x $, então:
(raizx)^2 = x

Resposta

A derivada da função $ y = \arctan(\sqrt{x}) $ é:
y = arctan(raizx)

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