Calcular as derivadas das funções.
y=ln (x^2+5 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função $ y = \ln\left(x^{2} + 5x\right) $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia, que é útil quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte interna da função que está dentro do logaritmo. No caso, a função interna é $ u = x^{2} + 5x $.

Passo 3

Sabemos que a derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ u $ é $ \frac{1}{u} $. Então, para encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, precisamos multiplicar essa derivada pela derivada de $ u $ em relação a $ x $. Isso é exatamente o que a Regra da Cadeia nos diz.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de $ u = x^{2} + 5x $ em relação a $ x $:
u = x^2 + 5x

Passo 5

Agora, aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
y

Resposta

A derivada da função é:
dydx = 2x + 5x^2 + 5x

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