Calcular as derivadas parciais indicadas:
15) u=x+ty+t, x=ln t, y=ln (1t), d^2 ud t^2=?, R: d^2 ud t^2=2 ln t(2 t-1)-6 t+4t(t-ln t)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a segunda derivada de em relação a . A matéria aqui é cálculo, mais especificamente derivadas parciais e como elas se aplicam a funções que dependem de outras funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do quociente para derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como u = x + ty + t está definida:
x = ln t e y = ln(1t) = -ln t
Aqui, u = ln t + t-ln t + t e também são funções de :
Então, substituindo e na expressão de , temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de ddt(f(t)g(t)) = f'(t)g(t) - f(t)g'(t)[g(t)]^2 em relação a f(t) = ln t + t e g(t) = -ln t + t . Para isso, vamos usar a regra do quociente. Se temos uma função f'(t) = 1t + 1 e g'(t) = -1t + 1 , sua derivada é:
dudt = (1t + 1)(-ln t + t) - (ln t + t)(-1t + 1)(-ln t + t)^2
Aplicando isso à nossa função , onde:
Primeiro, vamos achar as derivadas de e :
Então, a primeira derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo da segunda derivada. Vamos expandir os produtos no numerador:
(1t + 1)(-ln t + t) = -ln tt + tt - ln t + t = -ln tt + 1 - ln t + t
(ln t + t)(-1t + 1) = -ln tt + ln t - tt + t = -ln tt + ln t - 1 + t
Subtraindo as duas expressões:
(-ln tt + 1 - ln t + t) - (-ln tt + ln t - 1 + t) = -2ln t + 2
Então, a primeira derivada simplificada fica:
dudt = -2ln t + 2(-ln t + t)^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de dudt = -2ln t + 2(t - ln t)^2 em relação a f(t) = -2ln t + 2 e g(t) = (t - ln t)^2 , ou seja, f'(t) = -2t e g'(t) = 2(t - ln t)(1 - 1t) = 2(t - ln t)(t - 1t) . Para isso, vamos derivar d^2 udt^2 = f'(t)g(t) - f(t)g'(t)[g(t)]^2 novamente em relação a d^2 udt^2 = (-2t)(t - ln t)^2 - (-2ln t + 2) cdot 2(t - ln t)(t - 1t)(t - ln t)^4 .
Temos:
d^2 udt^2 = -2(t - ln t)^2/t + (2ln t - 2) cdot 2(t - ln t)(t - 1)/t(t - ln t)^4
Vamos usar novamente a regra do quociente para derivar essa expressão. Seja:
d^2 udt^2 = 2ln t(2t - 1) - 6t + 4t(t - ln t)^3
Primeiro, encontramos as derivadas de e :
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Substituindo as expressões:
Simplificando a expressão:
Fatorando e simplificando mais:

Resposta

d^2 udt^2 = 2 ln t(2 t - 1) - 6 t + 4t(t - ln t)^3

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