Calcular as derivadas parciais indicadas:
4) z=(x^2+y^2) arctg(yx), partial^2 zpartial y^2= ?, partial^2 zpartial y partial x= ?
R: partial^2 zpartial y^2=2 x yx^2+y^2+2 arctg(yx), partial^2 zpartial y partial x=x^2-y^2x^2+y^2

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais de uma função de duas variáveis. A função dada é . Precisamos encontrar as derivadas segundas parciais e . Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial zpartial y = partialpartial y(x^2 + y^2) cdot arctan(yx) + (x^2 + y^2) cdot partialpartial yarctan(yx) em relação a , ou seja, . Aplicando a regra do produto:

Passo 3

Calculando as derivadas individuais:
partialpartial y(x^2 + y^2) = 2y
partialpartial yarctan(yx) = xx^2 + y^2

Passo 4

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
partial zpartial y = 2y cdot arctan(yx) + (x^2 + y^2) cdot xx^2 + y^2 = 2y arctan(yx) + x

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y(2y arctan(yx) + x) em relação a , ou seja, . Isso significa derivar novamente em relação a :

Passo 6

Derivando cada termo:
partialpartial y(2y arctan(yx)) = 2 arctan(yx) + 2y cdot xx^2 + y^2
partialpartial y(x) = 0

Passo 7

Juntando tudo:
partial^2 zpartial y^2 = 2 arctan(yx) + 2xyx^2 + y^2

Passo 8

Agora, vamos encontrar a derivada mista partial zpartial x = partialpartial x(x^2 + y^2) cdot arctan(yx) + (x^2 + y^2) cdot partialpartial xarctan(yx) . Primeiro, calculamos a derivada parcial de em relação a :

Passo 9

Calculando as derivadas individuais:
partialpartial x(x^2 + y^2) = 2x
partialpartial xarctan(yx) = -yx^2 + y^2

Passo 10

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
partial zpartial x = 2x cdot arctan(yx) + (x^2 + y^2) cdot -yx^2 + y^2 = 2x arctan(yx) - y

Passo 11

Agora, derivamos partial^2 zpartial y partial x = partialpartial y(2x arctan(yx) - y) = 2x cdot xx^2 + y^2 - 1 = 2x^2x^2 + y^2 - 1 = x^2 - y^2x^2 + y^2 em relação a para encontrar :

Resposta

partial^2 zpartial y^2 = 2xyx^2 + y^2 + 2 arctan(yx), partial^2 zpartial y partial x = x^2 - y^2x^2 + y^2

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