1. Calcular o diâmetro do elo de uma corrente para suportar uma força
Dados :
\begin{array}{l} \sigma_{e s c}=380 M P a \\\ A=\pi \cdot r^{2} \\\ F s=1,5 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o diâmetro do elo de uma corrente que deve suportar uma força (força aplicada não fornecida explicitamente).
Dados fornecidos:
  • \sigma_{esc}=380\\ \text{MPa} (tensão de escoamento ou resistência adotada do material).
  • A=\pi\cdot r^{2} (área da seção transversal do elo, com r raio).
  • F_s=1,5 (fator de segurança).
Observação importante: o enunciado não informa numericamente a força aplicada F. Para resolver de forma completa preciso dessa força; como não posso pedir mais dados, vou derivar a fórmula do diâmetro em função de F e então inserir os valores conhecidos ( \sigma_{esc} e F_s). Assim obtém-se a expressão que permite calcular d para qualquer F que o problema (ou a prova) venha a dar.

Passo 2

Conceito básico — tensão (ou esforço) de tração: a tensão média na seção é dada por
\sigma=\frac{F}{A},
onde:
  • \sigma é a tensão (em \text{Pa} ou \text{N/m}^2);
  • F é a força de tração aplicada (em \text{N});
  • A é a área da seção transversal que resiste à tração (em \text{m}^2).
Explicando: a tensão é a força dividida pela área que a suporta. Para a corrente não falhar, a tensão real \sigma deve ser menor ou igual à tensão admissível determinada pelo material e pelo fator de segurança.

Passo 3

Fator de segurança — como usar: o fator de segurança F_s reduz a tensão admissível. Adota-se a tensão admissível \sigma_{adm} como
\sigma_{adm}=\frac{\sigma_{esc}}{F_s},
onde \sigma_{esc} é a tensão característica do material (aqui dada) e F_s é o fator de segurança. Significado prático: a tensão real \sigma deve satisfazer \sigma\le\sigma_{adm}.

Passo 4

Montando a condição de projeto e isolando a área. A condição \sigma\le\sigma_{adm} com \sigma=F/A dá:
\frac{F}{A}\le\frac{\sigma_{esc}}{F_s}.
Isolando A:
A \ge \frac{F\,F_s}{\sigma_{esc}}.
Interpretação: a seção transversal precisa ser, no mínimo, igual à razão dada para que a peça suporte a força com o fator de segurança desejado.

Passo 5

Expressão em termos do diâmetro. A área da seção circular do elo, em função do diâmetro d, é
A=\pi r^{2}=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^{2}=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Substituindo na desigualdade A\ge\frac{F F_s}{\sigma_{esc}} temos:
\frac{\pi d^{2}}{4}\ge\frac{F\,F_s}{\sigma_{esc}}.
Isolando d:
d\ge\sqrt{\frac{4 F\,F_s}{\pi \sigma_{esc}}}.
Esta é a fórmula fundamental: o diâmetro mínimo que garante a resistência é dado por essa raiz quadrada.

Passo 6

Substituindo os valores numéricos conhecidos ( \sigma_{esc}=380\\ \text{MPa}=380\times10^{6}\\ \text{Pa} e F_s=1,5) obtemos uma forma prática:
d\ge\sqrt{\frac{4 F\cdot 1{,}5}{\pi\cdot 380\times10^{6}}} =\sqrt{\frac{6F}{\pi\cdot 380\times10^{6}}}.
Para facilitar cálculos rápidos, pode-se simplificar numericamente o fator fora da raiz:
d\ge\sqrt{5{,}025\times10^{-9}\;F}\approx 7{,}095\times10^{-5}\sqrt{F},
onde F deve estar em newtons e d será dado em metros.
Exemplo ilustrativo (não obrigatório para o enunciado): se F=10{,}0\times10^{3}\\ \text{N} (10 kN), então
d\approx 7{,}095\times10^{-5}\sqrt{10{,}0\times10^{3}}=7{,}095\times10^{-5}\cdot100=0{,}007095\\ \text{m}=7{,}095\\ \text{mm}.

Resposta

d=\sqrt{\dfrac{4F\,F_s}{\pi\,\sigma_{esc}}}=\sqrt{\dfrac{6F}{\pi\cdot 380\times10^{6}}}\\ \text{(m)}

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