1. Sabendo que para o aço valem \sigma_{\text {adm }}=160 \mathrm{MPa} e \tau_{\text {adm }}=100 \mathrm{MPa}, selecionar o perfil de abas largas W que possa ser usado para suportar o carregamento indicado com segurança.

Passo 1

O enunciado pede que se selecione um perfil de abas largas (W) em aço capaz de suportar o carregamento com segurança. Dados fornecidos (peguei estes valores da figura):
  • Carga concentrada: \,120\\ \mathrm{kN}\, aplicada a 3\\ \mathrm{m} do apoio A (ou seja, em x=3\\ \mathrm{m} a partir de A).
  • Carga distribuída uniforme: \,40\\ \mathrm{kN/m}\, aplicada ao longo de toda a viga (comprimento total).
  • Distâncias entre apoios: apoio A até o ponto B =3\\ \mathrm{m}; B até apoio C =5\\ \mathrm{m}. Portanto, vão total =8\\ \mathrm{m}.
  • Limites admissíveis do aço: tensão admissível à flexão \,\sigma_{\text{adm}}=160\\ \mathrm{MPa}\, e tensão admissível ao cisalhamento \,\tau_{\text{adm}}=100\\ \mathrm{MPa}\,.
    O que o enunciado exige: escolher (identificar) um perfil W que satisfaça as verificações de flexão e de cisalhamento. Obs.: a seleção final exige uma tabela com propriedades das seções W (valores de S_x, I_x, t_w, etc.). Se essa tabela não for fornecida, não é possível indicar um rótulo W exato — mas podemos calcular os requisitos numéricos mínimos que o perfil deve atender.

Passo 2

Equilíbrio estático — reações nos apoios. Notação: R_A e R_C reações verticais nos apoios A e C.
Somatório das forças verticais:
R_A+R_C = 120 + wL
onde w=40\\ \mathrm{kN/m} e L=8\\ \mathrm{m}. Assim wL=40\cdot8=320\\ \mathrm{kN}. Logo
R_A+R_C = 120 + 320 = 440\\ \mathrm{kN}.
Somatório de momentos em A (positivo no sentido que torna R_C positivo):
\sum M_A = 0 \;\Rightarrow\; R_C\cdot8 - 120\cdot3 - (wL)\cdot(4) = 0.
Explicação rápida: o momento do UDL total wL age em sua resultante no centro da viga a 4\\ \mathrm{m} de A.
Calcule:
R_C\cdot8 = 120\cdot3 + 320\cdot4 = 360 + 1280 = 1640\\ \mathrm{kN\cdot m},
R_C = \frac{1640}{8} = 205\\ \mathrm{kN}.
Então
R_A = 440 - 205 = 235\\ \mathrm{kN}.

Passo 3

Corte e momento internos — encontrar o valor máximo de momento fletor (que determina a verificação à flexão) e o esforço cortante máximo (que determina a verificação ao cisalhamento).
  • Esforço cortante máximo em valor absoluto normalmente é igual à maior reação de apoio para este tipo de carregamento estático simples. Assim:
V_{\max} = \max(R_A, R_C) = R_A = 235\\ \mathrm{kN}.
Explicando: imediatamente à direita do apoio A o esforço cortante interno é igual a R_A.
  • Momento fletor: calcular o momento no ponto da carga concentrada ( x=3\\ \mathrm{m}) e também no ponto médio para garantir que o máximo foi encontrado.
Momento à esquerda do ponto carregado x=3^{-}:
M(3^{-}) = R_A\cdot3 - \frac{w\cdot3^2}{2}.
Substituindo números:
M(3^{-}) = 235\cdot3 - \frac{40\cdot9}{2} = 705 - 180 = 525\\ \mathrm{kN\cdot m}.
Momento logo à direita x=3^{+} (é contínuo no ponto de aplicação da carga concentrada):
M(3^{+}) = M(3^{-}) = 525\\ \mathrm{kN\cdot m}.
Verificação rápida no centro x=4\\ \mathrm{m} (para comparação):
M(4) = R_A\cdot4 - \frac{w\cdot4^2}{2} - 120\cdot(4-3) = 235\cdot4 - 40\cdot8 - 120 = 940 - 320 - 120 = 500\\ \mathrm{kN\cdot m}.
Portanto o máximo de momento é
M_{\max} = 525\\ \mathrm{kN\cdot m}.

Passo 4

Verificação à flexão — determinar o momento fletor máximo admissível a partir da seção.
Fórmula básica de flexão (tensão normal extrema):
\sigma = \frac{M}{S},
onde S é o módulo resistente da seção em flexão (módulo de seção elástico, também chamado S_x). Para que \sigma \le \sigma_{\text{adm}} requeremos
S \ge \frac{M_{\max}}{\sigma_{\text{adm}}}.
Converter unidades e calcular:
  • M_{\max}=525\\ \mathrm{kN\cdot m} = 525\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m} = 525\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm}.
  • \sigma_{\text{adm}}=160\\ \mathrm{MPa}=160\\ \mathrm{N/mm^2}.
Logo
S_{\text{req}} = \frac{525\times10^{6}}{160} = 3{,}28125\times10^{6}\\ \mathrm{mm^3}.
Podemos expressar também em centímetros cúbicos:
S_{\text{req}} = 3{,}281{,}25\times10^{3}\\ \mathrm{cm^3} \quad(\text{ou }3281{,}25\\ \mathrm{cm^3}).
Interpretação prática: o perfil W escolhido deve ter S_x \ge S_{\text{req}} = 3{,}28125\times10^{6}\\ \mathrm{mm^3} (valor de módulo de seção em torno neutro).

Passo 5

Verificação ao cisalhamento (web) — teoria e requisito numérico.
Para vigas I / W, a tensão de cisalhamento máxima na alma (web) pode ser estimada pela fórmula:
\tau_{\max} = \frac{V\,Q}{I\,t_w},
onde
  • V é o esforço cortante interno (N),
  • Q é o primeiro momento da área da parte da seção acima (ou abaixo) do ponto onde se calcula (\mathrm{mm^3}),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (\mathrm{mm^4}),
  • t_w é a espessura da alma (web thickness) em mm.
Para verificar sem escolher a seção, reescrevemos a condição \tau_{\max}\le\tau_{\text{adm}} como
\frac{I\,t_w}{Q} \ge \frac{V}{\tau_{\text{adm}}}.
Calcule o lado direito com os valores conhecidos (usar unidades consistentes):
  • V = V_{\max} = 235\\ \mathrm{kN} = 235\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
  • \tau_{\text{adm}} = 100\\ \mathrm{MPa} = 100\\ \mathrm{N/mm^2}.
Logo
\frac{V}{\tau_{\text{adm}}} = \frac{235\times10^{3}}{100} = 2{,}350\\ \mathrm{mm^2}.
Interpretação: a seção escolhida deve satisfazer
\frac{I\,t_w}{Q} \ge 2{,}350\\ \mathrm{mm^2}.
Na prática, para uma seção W simétrica, Q (no nível do eixo neutro considerando a área do flange) vale aproximadamente Q \approx A_{\text{flange}}\cdot y_{\text{cg\_flange}} (onde A_{\text{flange}}=b_f t_f e y_{\text{cg\_flange}} é a distância do centro do flange ao neutro). Assim, com a tabela da seção W (que fornece I, t_w, b_f, t_f, d) é direto calcular o lado esquerdo e confirmar a condição.

Passo 6

Como escolher o perfil W na prática (passo-a-passo quando a tabela estiver disponível)
  • Consultar a tabela de perfis W: localizar perfis com S_x \ge S_{\text{req}} = 3{,}28125\times10^{6}\\ \mathrm{mm^3}.
  • Para cada candidato com S_x satisfatório, calcular \dfrac{I\,t_w}{Q} (usar I, t_w e calcular Q com os dados geométricos do perfil) e verificar se \dfrac{I\,t_w}{Q} \ge 2{,}350\\ \mathrm{mm^2}. Se a desigualdade for satisfeita, a verificação ao cisalhamento está ok.
  • Também checar outras verificações práticas (flechas, flambagem local de alma/abafamento de mesa se aplicável, ligações, e fatores de segurança adicionais especificados em normas), mas para a verificação simples solicitada no enunciado as duas condições acima (flexão e cisalhamento) são essenciais.
  • Se nenhuma seção da tabela satisfizer ambas as condições, escolher um perfil maior (maior S_x e/ou alma mais espessa).

Passo 7

Observação final e conclusão prática:
  • Sem a tabela de perfis W (propriedades geométricas e S_x,I_x,t_w,\ldots) não é possível indicar o rótulo exato do perfil W (por exemplo, “W310x60”, etc.). Entretanto, os requisitos numéricos mínimos foram calculados para orientar a seleção.

Resposta

M_{\max}=525\\ \mathrm{kN\cdot m}.
Reações: R_A=235\\ \mathrm{kN},\;R_C=205\\ \mathrm{kN}.
Requisitos para o perfil W (mínimos):
  • Verificação à flexão: S_x \ge S_{\text{req}}=\dfrac{M_{\max}}{\sigma_{\text{adm}}}=3{,}28125\times10^{6}\\ \mathrm{mm^3} (≈ 3{,}281{,}25\\ \mathrm{cm^3}).
  • Verificação ao cisalhamento (alma): \dfrac{I\,t_w}{Q} \ge \dfrac{V_{\max}}{\tau_{\text{adm}}}=2{,}350\\ \mathrm{mm^2}.
Sem a tabela de perfis W com S_x,\\ I_x,\\ t_w,\\ b_f,\\ t_f,\\ d,\ldots não é possível indicar um perfil W específico; escolher qualquer perfil W que satisfaça simultaneamente as duas condições acima.

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