1. O diâmetro de uma haste de aço é de 30 mm . Se ela for submetida a um cisalhamento \mathrm{V}=25 \mathrm{kN}, determine a tensão de cisalhamento máxima (MPa).
Rpta: \tau_{\text {máx }}=47,16 \mathrm{MPa}á.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (sem resolver nada ainda):
  • Dado: diâmetro da haste d=30\\ \text{mm}.
  • Dado: força cortante aplicada \,V=25\\ \text{kN}.
  • Pedido: determinar a tensão de cisalhamento máxima \tau_{\text{máx}}á em MPa.
Observações úteis para o que vem a seguir (vou usá-las no cálculo):
  • Converter a força para unidades compatíveis com área em \text{mm}^2: 25\\ \text{kN}=25\,000\\ \text{N}.
  • Lembrar que 1\\ \text{N/mm}^2 = 1\\ \text{MPa}, então resultado em \text{N/mm}^2 pode ser escrito diretamente em MPa.

Passo 2

Apresentar a fórmula correta e explicar suas variáveis (aula rapidinha e prática).
Para uma seção transversal circular sujeita a força cortante transversal V (situação de cisalhamento em vigas/haste), a tensão de cisalhamento não é uniforme na seção — tem distribuição. A fórmula geral de cisalhamento transversal é
\tau=\frac{V\,Q}{I\,b},
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento num ponto da seção (unidades: \text{N/mm}^2 ou MPa),
  • V é a força cortante aplicada (unidades: N),
  • Q é o primeiro momento da área acima (ou abaixo) da linha onde se calcula \tau (unidades: \text{mm}^3),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (unidades: \text{mm}^4),
  • b é a largura efetiva da seção na linha considerada (unidades: mm).
Explicando cada peça de forma concreta para uma seção circular:
  • Seja o raio R=\dfrac{d}{2}.
  • A maior tensão de cisalhamento aparece na linha neutra (no centro da seção circular, y=0). Para essa linha:
    • a largura b é simplesmente o diâmetro da seção atravessando a reta horizontal: b=2R.
    • o primeiro momento Q é o primeiro momento da metade superior da seção em relação à linha neutra (a reta que passa pelo centro). A área da meia-lua superior é a área do semicírculo: A_{\text{semi}}=\frac{1}{2}\pi R^{2}.O centróide dessa meia-seção fica a uma distância \dfrac{4R}{3\pi} da linha reta (este é um resultado padrão para centroides de semicírculo). Assim Q = A_{\text{semi}}\times \left(\frac{4R}{3\pi}\right) = \frac{1}{2}\pi R^{2}\cdot\frac{4R}{3\pi} = \frac{2R^{3}}{3}.
    • o momento de inércia da seção circular inteira em relação ao eixo neutro horizontal é (fórmula padrão) I=\frac{\pi R^{4}}{4}.

Passo 3

Derivar a expressão simples para \tau_{\text{máx}}á substituindo Q, I e b na fórmula \tau=\dfrac{VQ}{Ib}.
Substituindo:
\tau_{\text{máx}}=\frac{V\cdot\left(\dfrac{2R^{3}}{3}\right)}{\left(\dfrac{\pi R^{4}}{4}\right)\cdot(2R)}.á
Agora simplificar passo a passo:
\tau_{\text{máx}}=\frac{V\cdot \dfrac{2R^{3}}{3}}{\dfrac{\pi R^{4}}{4}\cdot 2R} =V\cdot\frac{2R^{3}}{3}\cdot\frac{1}{\dfrac{\pi R^{4}}{4}\cdot 2R}.á
O denominador \dfrac{\pi R^{4}}{4}\cdot 2R=\dfrac{\pi R^{5}}{2}. Então
\tau_{\text{máx}}=V\cdot\frac{2R^{3}}{3}\cdot\frac{2}{\pi R^{5}} =V\cdot\frac{4}{3\pi R^{2}}.á
Como a área da seção é A=\pi R^{2}, uma forma muito usada é
\tau_{\text{máx}}=\frac{4V}{3A},á
que é a expressão clássica para tensão de cisalhamento máxima em uma seção circular maciça sujeita à força cortante V. (Resumo intuitivo: \tau_{\text{méd}}=V/Aé é a média; a máxima vale \dfrac{4}{3} vezes essa média para círculo.)

Passo 4

Aplicar números e unidades. Primeiro calcular áreas e raio:
  • Raio:
R=\frac{d}{2}=\frac{30\\ \text{mm}}{2}=15\\ \text{mm}.
  • Área da seção:
A=\pi R^{2}=\pi\cdot(15)^{2}=\pi\cdot 225=225\pi\\ \text{mm}^{2}.
  • Força em N:
V=25\\ \text{kN}=25\,000\\ \text{N}.
Usar a forma \tau_{\text{máx}}=\dfrac{4V}{3A}á:
\tau_{\text{máx}}=\frac{4\cdot 25\,000}{3\cdot 225\pi}\\ \text{N/mm}^{2}.á
Simplificando numericamente:
\tau_{\text{máx}}=\frac{100\,000}{675\pi}\\ \text{N/mm}^{2}.á

Passo 5

Calcular o valor numérico aproximado e interpretar em MPa.
Calculemos a divisão (usar \pi\approx 3{,}1416):
675\pi \approx 675\times 3{,}1416 \approx 2\,120{,}58.
Portanto
\tau_{\text{máx}}\approx \frac{100\,000}{2\,120{,}58}\\ \text{N/mm}^{2}\approx 47{,}16\\ \text{N/mm}^{2}.á
Como 1\\ \text{N/mm}^{2}=1\\ \text{MPa}, o resultado em MPa é o mesmo:
\tau_{\text{máx}}\approx 47{,}16\\ \text{MPa}.á

Resposta

\tau_{\text{máx}}=47{,}16\\ \text{MPa}á

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