- O diâmetro de uma haste de aço é de 30 mm . Se ela for submetida a um cisalhamento
, determine a tensão de cisalhamento máxima (MPa).
Rpta:
.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (sem resolver nada ainda):
- Dado: diâmetro da haste
. - Dado: força cortante aplicada
. - Pedido: determinar a tensão de cisalhamento máxima
em MPa.
Observações úteis para o que vem a seguir (vou usá-las no cálculo):
- Converter a força para unidades compatíveis com área em
: . - Lembrar que
, então resultado em pode ser escrito diretamente em MPa.
Passo 2
Apresentar a fórmula correta e explicar suas variáveis (aula rapidinha e prática).
Para uma seção transversal circular sujeita a força cortante transversal
(situação de cisalhamento em vigas/haste), a tensão de cisalhamento não é uniforme na seção — tem distribuição. A fórmula geral de cisalhamento transversal é
onde:
-
é a tensão de cisalhamento num ponto da seção (unidades: ou MPa), -
é a força cortante aplicada (unidades: N), -
é o primeiro momento da área acima (ou abaixo) da linha onde se calcula (unidades: ), -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (unidades: ), -
é a largura efetiva da seção na linha considerada (unidades: mm).
Explicando cada peça de forma concreta para uma seção circular:
- Seja o raio
. - A maior tensão de cisalhamento aparece na linha neutra (no centro da seção circular,
). Para essa linha: - a largura
é simplesmente o diâmetro da seção atravessando a reta horizontal: . - o primeiro momento
é o primeiro momento da metade superior da seção em relação à linha neutra (a reta que passa pelo centro). A área da meia-lua superior é a área do semicírculo: O centróide dessa meia-seção fica a uma distância da linha reta (este é um resultado padrão para centroides de semicírculo). Assim - o momento de inércia da seção circular inteira em relação ao eixo neutro horizontal é (fórmula padrão)
- a largura
Passo 3
Derivar a expressão simples para
substituindo
,
e
na fórmula
.
Substituindo:
Agora simplificar passo a passo:
O denominador
. Então
Como a área da seção é
, uma forma muito usada é
que é a expressão clássica para tensão de cisalhamento máxima em uma seção circular maciça sujeita à força cortante
. (Resumo intuitivo:
é a média; a máxima vale
vezes essa média para círculo.)
Passo 4
Aplicar números e unidades. Primeiro calcular áreas e raio:
- Raio:
- Área da seção:
- Força em N:
Usar a forma
:
Simplificando numericamente:
Passo 5
Calcular o valor numérico aproximado e interpretar em MPa.
Calculemos a divisão (usar
):
Portanto
Como
, o resultado em MPa é o mesmo: