Sem calcular diretamente, verifique que
\left|\begin{array}{ccc} b+c & a+c & a+b \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar, sem calcular diretamente o determinante abaixo, que ele vale zero:
\left|\begin{array}{ccc} b+c & a+c & a+b \\\ a & b & c \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|
O conteúdo-chave aqui é observar dependência linear entre as linhas da matriz. Se houver relação linear não trivial, então o determinante é zero.

Passo 2

Note que, ao somar a primeira e a segunda linha, obtemos
(b+c)+a = a+b+c,\quad (a+c)+b = a+b+c,\quad (a+b)+c = a+b+c.
Isto é,
\text{L}_1 + \text{L}_2 = (a+b+c)\,(1,1,1) = (a+b+c)\,\text{L}_3.

Passo 3

Da relação
\text{L}_1 + \text{L}_2 - (a+b+c)\,\text{L}_3 = (0,0,0)
vemos que as três linhas são linearmente dependentes. Logo o determinante da matriz é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados