Calcular a distância entre as retas
\mathrm{r}:\left\{\begin{array}{l} y=-2 x+3 \\\ z=2 x \end{array} \quad \mathrm{e} \quad \mathrm{~s}:\left\{\begin{array}{c} x=-1-2 t \\\ y=1+4 t \\\ z=-3-4 t \end{array}\right.\right.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas em \mathbb{R}^3. O conteúdo aqui é geometria analítica espacial: precisamos parametrizar as retas, identificar seus vetores diretores, verificar se são paralelas e, em caso afirmativo, usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta paralela.

Passo 2

Parametrizamos a reta \mathrm{r}. Das equações
y=-2x+3,\quad z=2x,
podemos tomar x=t. Assim, um parâmetro para \mathrm{r} é
\mathrm{r}:\;(x,y,z)=(t,\,-2t+3,\,2t)=(0,3,0)+t\,(1,-2,2).
Logo o ponto P_1=(0,3,0) pertence a \mathrm{r} e o vetor diretor é
\mathbf{u}=(1,-2,2).

Passo 3

A reta \mathrm{s} já vem parametrizada:
\mathrm{s}:\;(x,y,z)=(-1-2t,\,1+4t,\,-3-4t)=P_2+t\,\mathbf{v},
onde
P_2=(-1,1,-3),\quad \mathbf{v}=(-2,4,-4).
Observe que \mathbf{v}=-2\,(1,-2,2)=-2\,\mathbf{u}. Portanto \mathbf{u} e \mathbf{v} são colineares e as retas são paralelas.

Passo 4

Para retas paralelas, a distância entre elas é a distância de P_2 a \mathrm{r}. Essa distância é dada por
d=\frac{\bigl\lVert (P_2-P_1)\times \mathbf{u}\bigr\rVert}{\lVert \mathbf{u}\rVert}.
Calculamos primeiro
P_2-P_1 =(-1,1,-3)-(0,3,0)=(-1,-2,-3).

Passo 5

O produto vetorial é
(P_2-P_1)\times \mathbf{u} = (-1,-2,-3)\times(1,-2,2) = \bigl(-10,\,-1,\,4\bigr).
O módulo desse vetor é
\bigl\lVert (P_2-P_1)\times \mathbf{u}\bigr\rVert =\sqrt{(-10)^2+(-1)^2+4^2} =\sqrt{100+1+16} =\sqrt{117} =3\sqrt{13}.
E o módulo de \mathbf{u} é
\lVert \mathbf{u}\rVert =\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2} =\sqrt{1+4+4} =3.

Passo 6

Substituindo na fórmula da distância, obtemos
d =\frac{3\sqrt{13}}{3} =\sqrt{13}.

Resposta

\sqrt{13}

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