Considere os vetores U=(2,-1,3), W=(1,2,-2) e os pontos A=(3,-2,1) e B=(5,-2,0)
a). (4 pontos) As componentes do vetor \overrightarrow{A B}.
b). (6 pontos) A projeção ortogonal do vetor U sobre o vetor W.
c) (10 pontos) (W \times U) \cdot \overrightarrow{A B}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \,U=(2,-1,3), \,W=(1,2,-2) e os pontos \,A=(3,-2,1), \,B=(5,-2,0). Pede: (a) o vetor \overrightarrow{AB}; (b) a projeção ortogonal de U sobre W; (c) o produto misto \,(W\times U)\cdot\overrightarrow{AB}.

Passo 2

Para encontrar \overrightarrow{AB} subtraímos as coordenadas de A das de B.
\overrightarrow{AB} = B - A = (5-3,\;-2-(-2),\;0-1) = (2,\,0,\,-1).

Passo 3

A projeção de U sobre W usa a fórmula
\mathrm{proj}_{W}(U) =\frac{U\cdot W}{W\cdot W}\;W.
Calculamos
U\cdot W =2\cdot1+(-1)\cdot2+3\cdot(-2) =2-2-6=-6,
W\cdot W =1^2+2^2+(-2)^2 =1+4+4=9.
Logo
\mathrm{proj}_{W}(U) =\frac{-6}{9}\,W =-\frac{2}{3}\,(1,2,-2) =\bigl(-\tfrac{2}{3},-\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\bigr).

Passo 4

O produto vetorial W\times U é dado pelo determinante
W\times U =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&2&-2\\\\ 2&-1&3 \end{vmatrix} =(2\cdot3-(-2)\cdot(-1))\,\mathbf{i} -(1\cdot3-(-2)\cdot2)\,\mathbf{j} +(1\cdot(-1)-2\cdot2)\,\mathbf{k}.
Isso resulta em
W\times U=(4,\,-7,\,-5).

Passo 5

Finalmente, o produto escalar (W\times U)\cdot\overrightarrow{AB} é
(4,-7,-5)\cdot(2,0,-1) =4\cdot2+(-7)\cdot0+(-5)\cdot(-1) =8+0+5 =13.

Resposta

a) \overrightarrow{AB}=(2,0,-1)
b) \mathrm{proj}_{W}(U)=\bigl(-\tfrac{2}{3},-\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\bigr)
c) (W\times U)\cdot\overrightarrow{AB}=13

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