Calcular a equação da reta que melhor aproxima o conjunto de pontos:
P_{1}=(0,0) ; P_{2}=(2,5) ; P_{3}=(3,8) ; P_{4}=(4,9)

Passo 1

O enunciado nos dá quatro pontos P_{1}=(0,0), P_{2}=(2,5), P_{3}=(3,8) e P_{4}=(4,9) e pede a reta de ajuste por mínimos quadrados. Vamos adotar o modelo
y = a + b\,x
Para determinar a e b usamos as fórmulas da regressão linear por mínimos quadrados:
b = \frac{n \sum x_i y_i - \bigl(\sum x_i\bigr)\bigl(\sum y_i\bigr)}{n \sum x_i^2 - \bigl(\sum x_i\bigr)^2},
a = \frac{\sum y_i - b\,\sum x_i}{n}.

Passo 2

Calcular os somatórios necessários:
n = 4,\quad \sum x_i = 0 + 2 + 3 + 4 = 9,\quad \sum y_i = 0 + 5 + 8 + 9 = 22,
\sum x_i y_i = 0\cdot0 + 2\cdot5 + 3\cdot8 + 4\cdot9 = 70,
\sum x_i^2 = 0^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 29.

Passo 3

Substituindo na fórmula de b:
b = \frac{4\cdot70 - 9\cdot22}{4\cdot29 - 9^2} = \frac{280 - 198}{116 - 81} = \frac{82}{35}.
Agora calculamos a:
a = \frac{22 - \frac{82}{35}\cdot 9}{4} = \frac{22 - \frac{738}{35}}{4} = \frac{\frac{770 - 738}{35}}{4} = \frac{8}{35}.

Resposta

A reta de ajuste por mínimos quadrados aos pontos dados é
y = \frac{8}{35} + \frac{82}{35}\,x.

Exercícios relacionados