Calcular a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de f no ponto p. Faça o gráfico mostrando as retas no Excel.
y = raiz(x), p = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas, porque elas nos ajudam a determinar a inclinação das retas tangente e normal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto no qual queremos encontrar as retas. Como , substituímos na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função para determinar a inclinação da reta tangente. A derivada de é:
Substituindo :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente e o ponto , podemos usar a equação da reta:
Onde é a inclinação e é o ponto. Substituindo:
Simplificando:
Essa é a equação da reta tangente.

Passo 5

A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação de duas retas perpendiculares multiplicadas dá . Então, se a inclinação da tangente é , a da normal será:
Usando novamente a equação da reta com o ponto :
Simplificando:
Essa é a equação da reta normal.

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é e a equação da reta normal é . Você pode plotar essas retas no Excel junto com o gráfico de para visualizar a tangente e a normal no ponto .

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