Calcule
e
no ponto de coordenadas
e
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais
e
no ponto específico
,
,
,
e
. Para isso, vamos usar o conhecimento de derivadas parciais e o método de diferenciação implícita, já que temos um sistema de equações envolvendo várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que temos três equações que relacionam as variáveis
,
,
,
e
. Essas equações são chamadas de equações implícitas porque não estão resolvidas para uma variável isoladamente. Para encontrar as derivadas parciais desejadas, vamos diferenciar cada uma dessas equações em relação a
e
.
Passo 3
Vamos começar diferenciando a primeira equação
em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar a segunda equação
em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Por fim, diferenciamos a terceira equação
em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 6
Agora, substituímos os valores do ponto dado:
,
,
,
,
. Com esses valores, algumas das expressões se simplificam:
Substituindo na equação do Passo 3:
Passo 7
Agora, usando
na equação do Passo 5:
Passo 8
Voltando à equação do Passo 4 com os valores substituídos:
Então, da equação do Passo 7:
Passo 9
Agora, para calcular
, vamos repetir o processo diferenciando as equações em relação a
. Diferenciando a primeira equação
em relação a
:
Substituindo os valores:
Passo 10
Diferenciando a segunda equação
em relação a
:
Substituindo os valores:
Como
:
Passo 11
Por fim, diferenciando a terceira equação
em relação a
:
Substituindo os valores:
Resposta
No ponto
,
,
,
e
, temos: