Calcular a espessura de camada filtrante que retém 90 \% de contaminantes em um filtro de camada fibrosa, a partir de:
a. \mathrm{x}_{50}=5,2 \mathrm{~cm}
b. \mathrm{X}_{63}=8,0 \mathrm{~cm}
c. \mathrm{X}_{29}=2,7 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado pede calcular a espessura da camada filtrante que retém 90 % de contaminantes em um filtro de camada fibrosa, a partir de três parâmetros dados: \mathrm{x}_{50}=5{,}2\\ \mathrm{cm}, \mathrm{X}_{63}=8{,}0\\ \mathrm{cm} e \mathrm{X}_{29}=2{,}7\\ \mathrm{cm}. O conteúdo de matéria é o modelo exponencial de filtração em profundidade, no qual a fração retida f varia com a espessura x.

Passo 2

No modelo exponencial de filtração de profundidade temos
f(x) \;=\; 1 \;-\; \exp\bigl(-\,x/\lambda\bigr),
onde \lambda é o comprimento característico do filtro. A partir desse modelo podemos usar cada espessura característica para determinar \lambda.

Passo 3

Para cada parâmetro:
– Caso (a): em x_{50} retém 50 %, ou seja f=0{,}5.
0{,}5 = 1 - e^{-\,x_{50}/\lambda} \quad\Longrightarrow\quad e^{-\,x_{50}/\lambda} = 0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{x_{50}}{\ln 2}.
– Caso (b): em \mathrm{X}_{63} retém 63 %, ou seja f=0{,}63.
0{,}63 = 1 - e^{-\,\mathrm{X}_{63}/\lambda} \quad\Longrightarrow\quad e^{-\,\mathrm{X}_{63}/\lambda} = 0{,}37 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \mathrm{X}_{63}.
– Caso (c): em X_{29} retém 29 %, ou seja f=0{,}29.
0{,}29 = 1 - e^{-\,X_{29}/\lambda} \quad\Longrightarrow\quad e^{-\,X_{29}/\lambda} = 0{,}71 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = -\,\frac{X_{29}}{\ln(0{,}71)}.

Passo 4

Queremos x_{90} tal que f=0{,}90. Logo,
0{,}90 = 1 - e^{-\,x_{90}/\lambda} \quad\Longrightarrow\quad e^{-\,x_{90}/\lambda} = 0{,}10 \quad\Longrightarrow\quad x_{90} = -\,\lambda\,\ln(0{,}10) = \lambda\,\ln(10).

Passo 5

Calculando numericamente em cada caso:
– (a) \lambda = 5{,}2/\ln2 \approx 5{,}2/0{,}693 = 7{,}50\\ \mathrm{cm},
x_{90} = 7{,}50 \times \ln(10) \approx 7{,}50 \times 2{,}303 = 17{,}28\\ \mathrm{cm}.
– (b) \lambda = 8{,}0\\ \mathrm{cm},
x_{90} = 8{,}0 \times \ln(10) \approx 8{,}0 \times 2{,}303 = 18{,}42\\ \mathrm{cm}.
– (c) \lambda = -\,2{,}7/\ln(0{,}71) \approx 2{,}7/0{,}342 = 7{,}89\\ \mathrm{cm},
x_{90} = 7{,}89 \times \ln(10) \approx 7{,}89 \times 2{,}303 = 18{,}18\\ \mathrm{cm}.

Resposta

(a) x_{90}\approx17{,}3\\ \mathrm{cm}.
(b) x_{90}\approx18{,}4\\ \mathrm{cm}.
(c) x_{90}\approx18{,}2\\ \mathrm{cm}.

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