Calcular os extremos das funções, quando estes existirem. z = x * y * (x + y - 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os extremos da função . Isso quer dizer que queremos descobrir onde a função tem valores máximos ou mínimos. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas parciais, que é uma ferramenta da matemática para analisar como a função muda em relação a cada variável individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter extremos.
A derivada parcial em relação a é:
Simplificando:
A derivada parcial em relação a é:
Simplificando:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 4

Da equação (1):
Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 5

Caso 1:
Substituindo na equação (2):
Então:
Isso nos dá dois pontos críticos:

Passo 6

Caso 2:
Substituindo na equação (2):
Então:
Se , então , dando o ponto crítico .
Se , então , dando o ponto crítico .

Passo 7

Então, os extremos da função ocorrem nos seguintes pontos:

Resposta

Os extremos da função ocorrem nos pontos , , e .

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