Considere o problema de otimização dado por:
Utilize multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos estacionários e determine os valores de
e
que maximizam
sujeito à restrição
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de otimização juntos! A gente quer encontrar os valores de
e
que fazem a função
ser o maior possível, mas tem uma condição:
. Para isso, vamos usar uma técnica chamada Multiplicadores de Lagrange. Essencialmente, essa técnica nos ajuda a encontrar os pontos onde a função que a gente quer otimizar toca aquela linha ou curva de restrição, que nesse caso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Ela combina a nossa função objetivo
com a restrição
, usando um multiplicador que a gente chama de
(lambda). A fórmula fica assim:
Passo 3
Agora, a gente precisa achar os pontos onde as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
e
são iguais a zero. Isso nos dá um sistema de equações que vamos resolver.
Primeiro, derivando em relação a
:
Passo 4
Derivando agora em relação a
:
Passo 5
E derivando em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos juntar as equações que encontramos:
Como ambas são iguais a
, podemos igualar
, o que simplifica para:
Passo 7
Sabendo que
e que
, vamos substituir
por
na equação da restrição:
Passo 8
Como
, então:
Resposta
Os valores que maximizam
sujeitos à restrição
são
e
.