Calcular os extremos das funções, quando estes existirem. z = x^2 - x*y + y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os extremos da função . Isso envolve encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando variamos uma variável mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde a função pode ter extremos), igualamos essas derivadas a zero:
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 4

Da equação (1), temos que . Vamos substituir esse valor de na equação (2):
Agora, substituindo na equação :
Então, o único ponto crítico é .

Passo 5

Agora que temos o ponto crítico, vamos determinar se ele é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada.
Calculamos as segundas derivadas:
Calculamos o discriminante :
Como e , isso indica que o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

A função possui um mínimo absoluto no ponto , onde .

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