Calcular f^prime(0), se f(x)=e^-x cos 3 x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de ,$f(x)=e^{-x}\cos(3x)\ em ,(x=0$. O conteúdo envolvido é a derivação de um produto de funções, então vamos usar a regra do produto e, para as funções internas, a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos , u(x)=e^-x e , v(x)=cos(3x). Pela regra da cadeia,
u'(x)=ddxe^-x=-e^-x
v'(x)=ddxcos(3x)=-sin(3x)cdot3=-3sin(3x).

Passo 3

Aplicando a regra do produto, que diz f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x), obtemos:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=-e^-xcos(3x)+e^-x(-3sin(3x))=-e^-x(cos(3x)+3sin(3x))

Passo 4

Para achar , f'(0), avaliamos em , x=0:
f'(0)=-e^0(cos(0)+3sin(0))=-1cdot(1+0)=-1

Resposta

-1

Exercícios relacionados