Calcule a derivada.
75. f(x)=12[arg cosh x^2]^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=tfrac12l[argcoshl(x^2r)r]^2. Vamos usar o conteúdo de regra da cadeia e a fórmula da derivada da função argcosh(u).

Passo 2

Seja g(x)=argcoshl(x^2r). Então f(x)=tfrac12l[g(x)r]^2. Aplicando a derivada de potência composta, temos:
f'(x)=tfrac12cdot2,g(x)cdot g'(x)=g(x),g'(x)

Passo 3

Precisamos de g'(x). Sabemos que para u(x)=x^2 vale:
ddxl[argcosh(u)r]=u'raizu-1,raizu+1= racu'raizu^2-1
Aqui u=x^2 e u'=2x, e raiz(x^2)^2-1=raizx^4-1. Logo:
g'(x)=2xraizx^4-1

Passo 4

Substituindo em f'(x)=g(x),g'(x), obtemos:
f'(x)=argcoshl(x^2r)cdot2xraizx^4-1

Resposta

f'(x)=2x,argcoshl(x^2r)raizx^4-1

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