Calcular F^prime(x) nos seguintes casos: F(x)=integral0^x raiz1+t^2 d t

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
F(x) = integral0^x raiz1 + t^2 , dt
Queremos descobrir a derivada dessa função em relação a , ou seja, encontrar . Para resolver isso, vamos usar um conceito fundamental do cálculo chamado Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que se temos uma função definida como uma integral onde o limite superior é a variável F'(x) = f(x) , então a derivada dessa função é simplesmente a função que está sendo integrada, avaliada em . Em termos matemáticos:
Se , então
Isso funciona porque a derivada está medindo a taxa de variação da área sob a curva da função até o ponto .

Passo 3

Aplicando esse teorema ao nosso caso específico:
  • A função que está sendo integrada é F'(x) = raiz1 + x^2 .
  • O limite inferior é 0 e o limite superior é .
Portanto, de acordo com o teorema:

Resposta

A derivada é .

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