Calcular a força elérica sobre uma carga teste q=30 n C, localizada no centro de um cubo de aresta igual a 2 cm , devido a cargas iguais a q=10 \mu C dispostas nos vértices acima da carga teste e outras cargas iguais a q=-10 \mu C dispostas nos vértices abaixo da carga teste. ( 3,0 \mathrm{pt} )

Passo 1

O enunciado coloca uma carga-teste q_0 = 30\;\mathrm{nC} no centro de um cubo de aresta a = 2\;\mathrm{cm}. Nos quatro vértices acima do centro temos cargas iguais de q = +10\;\mu\mathrm{C} e nos quatro vértices abaixo, cargas iguais de q = -10\;\mu\mathrm{C}. Queremos a força resultante sobre q_0. O conteúdo envolve a lei de Coulomb, superposição de forças e simetria para cancelar componentes laterais.

Passo 2

Vamos achar a distância de qualquer vértice até o centro do cubo. Como
a = 0{,}02\;\mathrm{m}, \quad \frac{a}{2} = 0{,}01\;\mathrm{m},
cada vértice tem coordenadas \bigl(\pm \tfrac{a}{2},\pm\tfrac{a}{2},\pm\tfrac{a}{2}\bigr), logo
r = \sqrt{\Bigl(\tfrac{a}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{a}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{a}{2}\Bigr)^2} = \frac{a}{2}\sqrt{3} = 0{,}01\sqrt{3}\;\mathrm{m}.

Passo 3

Pela lei de Coulomb, o módulo da força de uma carga de vértice sobre q_0 é
F_i = k\,\frac{\lvert q_0\,q\rvert}{r^2},
com k=9\cdot10^9\;\mathrm{N\,m^2/C^2}, q_0=30\times10^{-9}\;\mathrm{C} e \lvert q\rvert=10\times10^{-6}\;\mathrm{C}. Como
r^2 = \bigl(0{,}01\sqrt{3}\bigr)^2 = 3\times10^{-4}\;\mathrm{m^2},
temos
F_i = 9\times10^9\;\frac{30\times10^{-9}\;\cdot\;10\times10^{-6}}{3\times10^{-4}} = 9\;\mathrm{N}.

Passo 4

Cada força F_i aponta radialmente, mas pelas componentes horizontais se anularem por simetria, só resta a componente vertical. A inclinação vale
\cos\theta = \frac{\Delta z}{r} = \frac{\tfrac{a}{2}}{r} = \frac{0{,}01}{0{,}01\sqrt3} = \frac{1}{\sqrt3}.
Então a componente vertical (no eixo z) de cada força é
F_{z,i} = F_i\cos\theta = 9\;\frac{1}{\sqrt3} = 3\sqrt3\;\mathrm{N}\approx5{,}196\;\mathrm{N}.

Passo 5

As quatro cargas positivas de cima repelem q_0 no sentido -z e as quatro negativas de baixo atraem q_0 também no sentido -z. Logo todas as oito contribuições verticais somam-se em -z:
F_z = 8\,F_{z,i} = 8\,(3\sqrt3) = 24\sqrt3\;\mathrm{N}.
O sinal é negativo pois o vetor resultado aponta para baixo.

Resposta

\vec F = -\,24\sqrt3\;\hat z\;\mathrm{N} \quad(\,\approx -41{,}6\;\hat z\;\mathrm{N}\,).

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