Calcular a força resultante que atua sobre uma carga de 1 \mu \mathrm{C}, colocada na posição (0,4) m, devido à seguinte distribuição de cargas:
  • Em (0,0) \mathrm{m}, uma carga Q_{1}=-3 \mu \mathrm{C};
  • Em (4,0) \mathrm{m}, uma carga Q_{2}=4 \mu \mathrm{C};
  • Em (1,1) \mathrm{m}, uma carga Q_{3}=2 \mu \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a força resultante que age sobre uma carga de teste q=1\,\mu\mathrm{C} em (0,4)\,\mathrm{m}, devido às cargas pontuais \,Q_{1}=-3\,\mu\mathrm{C} em (0,0), \,Q_{2}=4\,\mu\mathrm{C} em (4,0) e \,Q_{3}=2\,\mu\mathrm{C} em (1,1).
O conteúdo usado é a lei de Coulomb em forma vetorial:
\mathbf{F}_{i} = k\,q\,Q_{i}\,\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_{i}}{\bigl|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{i}\bigr|^{3}},
onde k=9\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}, \mathbf{r}=(0,4) m e \mathbf{r}_{i} são as posições das cargas.

Passo 2

Para \mathbf{F}_{1} com Q_{1}=-3\times10^{-6}\,\mathrm{C} em (0,0): \mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}=(0,4)-(0,0)=(0,4) m e \bigl|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}\bigr|=4 m.
\mathbf{F}_{1} = (9\times10^{9})(1\times10^{-6})(-3\times10^{-6}) \,\frac{(0,4)}{4^{3}} \approx(0,\,-1,6875\times10^{-3})\,\mathrm{N}.

Passo 3

Para \mathbf{F}_{2} com Q_{2}=4\times10^{-6}\,\mathrm{C} em (4,0): \mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}=(0,4)-(4,0)=(-4,4) m e \bigl|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}\bigr|=\sqrt{32} m.
\mathbf{F}_{2} = (9\times10^{9})(1\times10^{-6})(4\times10^{-6}) \,\frac{(-4,4)}{(\sqrt{32})^{3}} \approx(-7,96\times10^{-4},\,7,96\times10^{-4})\,\mathrm{N}.

Passo 4

Para \mathbf{F}_{3} com Q_{3}=2\times10^{-6}\,\mathrm{C} em (1,1): \mathbf{r}-\mathbf{r}_{3}=(0,4)-(1,1)=(-1,3) m e \bigl|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{3}\bigr|=\sqrt{10} m.
\mathbf{F}_{3} = (9\times10^{9})(1\times10^{-6})(2\times10^{-6}) \,\frac{(-1,3)}{(\sqrt{10})^{3}} \approx(-5,697\times10^{-4},\,1,709\times10^{-3})\,\mathrm{N}.

Passo 5

Somando as componentes:
F_{x} = 0 + (-7,96\times10^{-4}) + (-5,697\times10^{-4}) \approx -1,365\times10^{-3}\,\mathrm{N},
F_{y} = -1,6875\times10^{-3} + 7,96\times10^{-4} + 1,709\times10^{-3} \approx 0,817\times10^{-3}\,\mathrm{N}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{F}\approx -1,37\times10^{-3}\,\mathbf{i}+0,82\times10^{-3}\,\mathbf{j}\\ \mathrm{N}.

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