Um recipiente de paredes adiabáticas contém 2 L de água a 30^{\circ} \mathrm{C}. Coloca-se nele um bloco de 500 g de gelo a 0^{\circ} \mathrm{C}.
a) Calcule a temperatura final do sistema. Tome 80 \mathrm{cal} / \mathrm{g} para o calor latente de fusão do gelo.
b) Calcule a variação de entropia do sistema.

Passo 1

O enunciado diz que temos um recipiente adiabático contendo 2 L de água a 30^\circ\mathrm{C} (ou seja, m_{\rm água}=2000á g, T_i=30^\circ\mathrm{C}) e colocamos nele 500 g de gelo a 0^\circ\mathrm{C}.
a) Precisamos usar conservação de energia (calorímetro adiabático) para achar a temperatura final T_f.
b) Depois calcularemos a variação total de entropia do sistema, somando a entropia perdida pela água que esfria com a entropia ganha pelo gelo que funde e aquece.

Passo 2

Equilíbrio de calor: o calor cedido pela água ao esfriar de 30^\circ\mathrm{C} a T_f serve para fundir o gelo e, em seguida, aquecer essa água de fusão de 0^\circ\mathrm{C} a T_f.
Usando c=1 cal/ g\cdot K e L_f=80 cal/g, escrevemos
Q_{\rm água} = Q_{\rm fusão} + Q_{\rm aquecimento\,da\,água\,derretida}áãá
2000\cdot1\cdot(30 - T_f) =500\cdot80 + 500\cdot1\cdot(T_f - 0).
Isso dá
60000 - 2000\,T_f = 40000 + 500\,T_f \quad\Longrightarrow\quad 60000-40000 = 2500\,T_f \quad\Longrightarrow\quad T_f = \frac{20000}{2500} = 8^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Variação de entropia da água que esfria de 30^\circ\mathrm{C} ( T_i=303 K) a T_f=8^\circ\mathrm{C} ( 281 K):
\Delta S_{\rm água} = m_{\rm água}\,c\int_{T_i}^{T_f}\frac{dT}{T} =2000\cdot1\cdot\ln\!\biggl(\frac{281}{303}\biggr) \;\mathrm{cal/K}.áá

Passo 4

Variação de entropia do gelo inicialmente a 0^\circ\mathrm{C} ( 273 K), que primeiro funde e depois a água resultante aquece até 8^\circ\mathrm{C} ( 281 K):
- Entropia de fusão:
\Delta S_{\rm fusão} =\frac{m_{\rm gelo}\,L_f}{T_{\rm fusão}} =\frac{500\cdot80}{273}\;\mathrm{cal/K}.ãã
- Entropia do aquecimento da água derretida:
\Delta S_{\rm aquec\,gelo} = m_{\rm gelo}\,c\int_{273}^{281}\frac{dT}{T} =500\cdot1\cdot\ln\!\biggl(\frac{281}{273}\biggr) \;\mathrm{cal/K}.

Passo 5

Somando tudo:
\Delta S_{\rm total} =\Delta S_{\rm água} +\Delta S_{\rm fusão} +\Delta S_{\rm aquec\,gelo}.áã
Numericamente,
\Delta S_{\rm água} =2000\ln\!\bigl(\tfrac{281}{303}\bigr)\approx -151{,}4\;\mathrm{cal/K},á
\Delta S_{\rm fusão} =\frac{500\cdot80}{273}\approx 146{,}5\;\mathrm{cal/K},ã
\Delta S_{\rm aquec\,gelo} =500\ln\!\bigl(\tfrac{281}{273}\bigr)\approx 14{,}4\;\mathrm{cal/K},
\Delta S_{\rm total} \approx -151{,}4 +146{,}5 +14{,}4 = 9{,}5\;\mathrm{cal/K}.

Resposta

Temperatura final: T_f = 8^\circ\mathrm{C}.
Variação de entropia do sistema: \Delta S_{\rm total}\approx 9{,}5\;\mathrm{cal/K}.

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