Calcular \frac{d y}{d x} onde:
y=\ln (x+\cos (x))-\operatorname{arctg}(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=\ln(x+\cos(x))-\arctan(x). Vamos usar as seguintes regras de derivação:
– Para \ln(u), \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}.
– Para \arctan(x), \frac{d}{dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}.

Passo 2

Para a primeira parcela, defina
u = x + \cos(x).
Então
u' = \frac{d}{dx}\bigl(x+\cos(x)\bigr)=1-\sin(x).
Por regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\ln\bigl(x+\cos(x)\bigr) =\frac{u'}{u} =\frac{1-\sin(x)}{x+\cos(x)}.

Passo 3

Para a segunda parcela, usa-se diretamente
\frac{d}{dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}.

Passo 4

Aplicando a regra da diferença, a derivada de y é
y' =\frac{d}{dx}\ln\bigl(x+\cos(x)\bigr) -\frac{d}{dx}\arctan(x) =\frac{1-\sin(x)}{x+\cos(x)}-\frac{1}{1+x^2}.

Resposta

\frac{dy}{dx} =\frac{1-\sin(x)}{x+\cos(x)}-\frac{1}{1+x^2}.

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