Encontre \frac{d y}{d x} onde:
y=\operatorname{arcsec}(5 s)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \arcsec\bigl(5x\bigr)
em relação a x.
Será preciso usar a regra da cadeia e a fórmula da derivada da função inversa secante, que é
\frac{d}{du}\bigl(\arcsec(u)\bigr) =\frac{1}{\lvert u\rvert\sqrt{u^{2}-1}}\,.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=5x.
Aplicando derivada simples, obtemos
u'(x)=\frac{d}{dx}(5x)=5.

Passo 3

Usamos a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} =\frac{d}{du}\bigl(\arcsec(u)\bigr)\bigg|_{u=5x}\;\cdot\;u'(x) =\frac{1}{\lvert u\rvert\sqrt{u^{2}-1}}\bigg|_{u=5x}\times 5.

Passo 4

Substituindo u=5x em cada parcela, fica
\frac{dy}{dx} =\frac{5}{\lvert 5x\rvert\sqrt{(5x)^{2}-1}} =\frac{5}{5\,\lvert x\rvert\sqrt{25x^{2}-1}} =\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{25x^{2}-1}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} =\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{25x^{2}-1}}.

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