Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=3 x y \mathbf{i}+y^{2} \mathbf{j}-x^{2} y^{4} \mathbf{k},
é a superfície do tetraedro com vértices
,
e (
)
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=3 x y \mathbf{i}+y^{2} \mathbf{j}-x^{2} y^{4} \mathbf{k},
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície fechada
do tetraedro com vértices
,
,
e
.
Conteúdo: usar o Teorema do Divergente, que diz
Conteúdo: usar o Teorema do Divergente, que diz
onde
é o volume delimitado por
. Precisamos calcular
e integrar num tetraedro definido por
Passo 2
Calcular a divergência de
:
Derivando, obtemos
Passo 3
Aplicar o Teorema do Divergente:
Em coordenadas cartesianas, escolhemos a ordem de integração
. Para um dado
com
,
varia de
a
. Portanto
Passo 4
Integrar em
:
Agora o integral em
:
Calcular internamente:
Logo
Passo 5
Por fim, integrar em
:
Expandindo
e integrando:
Portanto