Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=3 x y \mathbf{i}+y^{2} \mathbf{j}-x^{2} y^{4} \mathbf{k},
S é a superfície do tetraedro com vértices (0,0,0), (1,0,0),(0,1,0) e ( 0,0,1 )

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}(x,y,z)=3xy\,\mathbf{i}+y^{2}\,\mathbf{j}-x^{2}y^{4}\,\mathbf{k} através da superfície fechada S do tetraedro com vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
Conteúdo: usar o Teorema do Divergente, que diz
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV,
onde V é o volume delimitado por S. Precisamos calcular \nabla\cdot\mathbf{F} e integrar num tetraedro definido por
x\ge0,\quad y\ge0,\quad z\ge0,\quad x+y+z\le1.

Passo 2

Calcular a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(3xy) +\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(-x^{2}y^{4}).
Derivando, obtemos
\nabla\cdot\mathbf{F}=3y+2y+0=5y.

Passo 3

Aplicar o Teorema do Divergente:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{V}5y\,dV.
Em coordenadas cartesianas, escolhemos a ordem de integração dz\,dx\,dy. Para um dado (x,y) com x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1, z varia de 0 a 1-x-y. Portanto
\iiint_{V}5y\,dV =\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1-y}\int_{z=0}^{1-x-y}5y\;dz\,dx\,dy.

Passo 4

Integrar em z:
\int_{0}^{1-x-y}5y\,dz =5y\bigl[z\bigr]_{0}^{1-x-y} =5y\,(1-x-y).
Agora o integral em x:
\int_{0}^{1-y}5y\,(1-x-y)\,dx =5y\int_{0}^{1-y}(1-y-x)\,dx.
Calcular internamente:
\int_{0}^{1-y}(1-y-x)\,dx =\bigl[(1-y)x-\tfrac{x^{2}}{2}\bigr]_{0}^{1-y} =(1-y)^{2}-\tfrac{(1-y)^{2}}{2} =\tfrac{(1-y)^{2}}{2}.
Logo
\int_{0}^{1-y}5y\,(1-x-y)\,dx =\frac{5y\,(1-y)^{2}}{2}.

Passo 5

Por fim, integrar em y:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\int_{0}^{1}\frac{5y\,(1-y)^{2}}{2}\,dy =\frac{5}{2}\int_{0}^{1}y(1-y)^{2}\,dy.
Expandindo y(1-y)^{2}=y-2y^{2}+y^{3} e integrando:
\int_{0}^{1}(y-2y^{2}+y^{3})\,dy =\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}-\tfrac{2y^{3}}{3}+\tfrac{y^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{2}-\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{4} =\tfrac{1}{12}.
Portanto
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{12} =\frac{5}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{24}

Exercícios relacionados