Calcular a frequência de corte da função de transferência dada abaixo.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede: “Calcular a frequência de corte da função de transferência
Isso é matéria de sistemas de controle/Bode: a gente vai precisar
- entender definição de frequência de corte (–3 dB abaixo do ganho de regime)
- achar o ganho em 0 rad/s, as frequências de pólos e zeros
- usar aquela regra do Bode pra estimar onde o módulo cai a 1/√2 do valor em DC.
Passo 2
Primeiro, ganho em DC: basta pôr ω=0 em H(jω):
$$H(0)=\frac{100,(0+1000)}{(0+100),\bigl(0+0+100\bigr)}
=\frac{100\cdot1000}{100\cdot100}=10.
\frac{10}{\sqrt2}\approx7{,}07.$$
Passo 3
Agora achamos polos e zeros para saber que quebras vão rolar no Bode:
• Zero em ωz=1000 rad/s (vindo de jω+1000).
• Polo real em ωp2=100 rad/s (de jω+100).
• Dois polos complexos da parte :
- wₙ=√100=10 rad/s e ζ=1/(2·10)=0,05.
• Zero em ωz=1000 rad/s (vindo de jω+1000).
• Polo real em ωp2=100 rad/s (de jω+100).
• Dois polos complexos da parte
- wₙ=√100=10 rad/s e ζ=1/(2·10)=0,05.
Então o primeiro “corner” vem em 10 rad/s, depois em 100 rad/s, e tem um zero lá em 1000 rad/s.
Passo 4
Na prática, no Bode de módulo:
- Até ≈10 rad/s o ganho fica em ~20 dB.
- Aí começa uma queda forte (–40 dB/dec) pois são dois polos.
- Em 100 rad/s entra outro polo (–20 dB/dec extra), depois em 1000 rad/s entra o zero que ameniza a queda.
Como a definição de ωc é o ponto em que o ganho está 3 dB abaixo do patamar de 20 dB, esse ponto fica logo após o primeiro par de polos, ou seja, em torno de ω=10 rad/s.
Passo 5
Se quisesse resolver exatamente a equação
teríamos que montar
e resolver numericamente. Mas a regra de dedo do Bode diz que, pra um par de polos levemente amortecido (ζ=0,05), a frequência de –3 dB está praticamente em ωₙ, ou seja, 10 rad/s.
Resposta
A frequência de corte (–3 dB) da função de transferência é