Calcular a frequência de corte da função de transferência dada abaixo.
H(j omega)=100(j omega+1000)(j omega)^2+j omega+100

Passo 1

Beleza, o que o enunciado pede é: “Calcular a frequência de corte” da função de transferência
H(jomega)=100l(jomega+1000r)(jomega)^2+jomega+100,
Conteúdo: teoria de filtros (ponto de –3 dB ou “–3 dB point”) e dicas de cálculo de módulo de número complexo.
O que vamos precisar:
  • Encontrar o ganho em DC (ω=0) para saber qual é o valor em baixo de frequência;
  • Montar ;
  • Achar ω tal que o módulo caia a 1/√2 do valor em DC (isso é –3 dB).

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ganho em DC, ou seja, ω=0:
H(j0)=100,(j0+1000)(j0)^2+(j0)+100=100cdot1000100=1000
Isso significa que, em baixa frequência, lvert H(jomegac)rvert=1000raiz2. No ponto de corte (–3 dB) queremos:

Passo 3

Agora montamos o módulo geral de lvert D(jomega)rvert =raiz(-omega^2+100)^2+(omega)^2.
  1. No numerador:
    lvert H(jomega)rvert =100,raizomega^2+10^6 raiz(,100-omega^2,)^2+omega^2,
  2. No denominador, para ,
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Passo 4

Igualamos ao –3 dB:
100raizomega^2+10^6 raiz(100-omega^2)^2+omega^2 =1000raiz2
Quadrando os dois lados e simplificando omega^2+10^6(100-omega^2)^2+omega^2 =1000^2/(2)100^2 =10^6/210^4=50:
omega^2+10^6 =50l[(100-omega^2)^2+omega^2r] =50l(10^4-200omega^2+omega^4+omega^2r)
Então
omega^2+10^6 =50omega^4-9950omega^2+500000
50omega^4-9951omega^2-500000=0
Reorganizando:
50x^2-9951x-500000=0
Fazendo x=9951pmraiz9951^2+4cdot50cdot5000002cdot50approx240.6(descartamos a raiz negativa):
omegac=raizxapproxraiz240.6approx15.5;rad/s
Resolvendo a fórmula de Bhaskara:
Então

Resposta

A frequência de corte é aproximadamente
boxedomegacapprox15,5;rad/s
(o que equivale a cerca de ).

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