Calcular a área da elipse x^{2}+4 y^{2}-4 x=0.

Passo 1

O enunciado pede a área da elipse dada por
x^{2} + 4y^{2} - 4x = 0.
O conteúdo aqui é geometria analítica de cônicas: vamos completar o quadrado em x para colocar essa equação na forma canônica de uma elipse e, em seguida, usar a fórmula da área \pi a b.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x. Note que
x^{2} - 4x = (x - 2)^{2} - 4.
Substituindo em x^{2} + 4y^{2} - 4x = 0, temos
(x - 2)^{2} - 4 + 4y^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - 2)^{2} + 4y^{2} = 4.

Passo 3

Agora dividimos ambos os lados por 4 para obter a forma padrão da elipse:
\frac{(x - 2)^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1.
Nessa forma, o semieixo maior (ou horizontal) é \displaystyle a = 2 e o semieixo menor (vertical) é \displaystyle b = 1.

Passo 4

A área de uma elipse de semieixos a e b é
\text{Área} = \pi\,a\,b.Á
Substituindo a=2 e b=1, obtemos
\text{Área} = \pi \times 2 \times 1 = 2\pi.Á

Resposta

2\pi

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